Enunciado

Determine o ponto do plano π : 2 x - y + z - 2 = 0 tal que a soma de suas distâncias a P e Q seja a menor possível.

  1. P = 2,1 , 0 , Q = 1 , - 1 , - 1
  2. P = 2,1 , 0 , Q = 0,1 , 1
  3. P = 2,1 , 0 , Q = 1 , - 1,2

Passo 1

Vejam só o que a questão está querendo que determinemos: seja um ponto X = x , y , z ∈ π , então, queremos descobrir o X que minimize:

d P , X + d Q , X

Eita! Iremos ter que descobrir esta função e depois aplicar os métodos de cálculo para minimiza-la? Não!

É mais simples que parece. Primeiro, precisamos identificar se os pontos P e Q pertencem ao mesmo sub espaço ou não. E como sabemos isso? Basta substituir as coordenadas do ponto na equação do plano e verificar se o valor obtido tem sinais iguais ou diferentes.

Substituindo as coordenadas de P , temos:

4 - 1 + 0 - 2 = 1 > 0

Substituindo as coordenadas de Q , temos:

2 + 1 + 2 - 2 = 3 > 0

Como ambos são positivos, os pontos pertencem ao mesmo sub espaço.

Passo 2

Agora que já sabemos que pertencem ao mesmo espaço, vamos encontrar o ponto simétrico a Q para podermos aplicar a propriedade triangular (isto não afetará em nada a resposta.

Portanto, a reta n perpendicular ao plano π e que passa por Q será:

n : X = Q + λ n →

n : X = 1 , - 1,2 + λ 2 , - 1,1

A projeção do ponto Q no plano será a interseção de n com π . Portanto,

2 x - y + z - 2 = 0

2 ⋅ 1 + 2 λ - - 1 - λ + 2 + λ - 2 = 0

6 λ = - 3

λ = - 1 2

Então, temos Q ' = 1 - 1 , - 1 + 1 2 , 2 - 1 2 = 0 , - 1 2 , 3 2 . E o ponto simétrico de Q em relação a π é:

Q ' ' = Q ' + Q Q ' →

Q ' ' = Q ' + Q ' - Q

Q ' ' = 0 , - 1 2 , 3 2 + 0 , - 1 2 , 3 2 - 1 , - 1,2

Q ' ' = - 1 , 0 , 1

Passo 3

Agora, poderemos aplicar a propriedade triangular. Vamos formar um triângulo P Q ' ' X . Pela propriedade triangular (um lado é menor ou igual a soma dos outros dois), temos:

d P , X + d Q ' ' , X ≥ d P , Q ' '

Se queremos minimizar d P , X + d Q ' ' , X , devemos ter uma igualdade na relação acima, portanto, teríamos:

d P , X + d Q ' ' , X = d P , Q ' '

Então, sabemos qual será o menor valor possível. Só que não é isto que a questão pede, ela nos questiona qual o ponto X que satisfaz isto.

E quem será este X ? Para que tenhamos o sinal de igualdade na propriedade triangular, devemos ter três pontos colineares. Então.... se X pertence ao plano e é colinear com P e Q ' ' ...... significa que o ponto X é a interseção da reta que passa por P e Q ' ' com o plano π !

Passo 4

Após toda a discussão do passo 1, vamos começar determinando a reta que passa por P e Q ' ' . Portanto,

r : X = P + λ Q ' ' P →

r : X = P + λ P - Q ' '

r : X = 2,1 , 0 + λ 2,1 , 0 - - 1,0 , 1

r : X = 2,1 , 0 + λ 3 , 1 , - 1

r : X = 2 + 3 λ , 1 + λ , - λ

E assim temos a nossa reta!

Passo 5

Agora, vamos descobrir quem é o ponto X . Fazendo a interseção de r com o plano π , temos:

2 x - y + z - 2 = 0

2 ⋅ 2 + 3 λ - 1 + λ + - λ - 2 = 0

4 λ = - 1

λ = - 1 4

Portanto, temos o ponto X = 2 - 3 4 , 1 - 1 4 , 1 4 = 5 3 , 3 4 , 1 4 . Este é o ponto buscado!

Resposta

X = 5 3 , 3 4 , 1 4

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Verifique se o plano π separa os pontos A e B .a) A = 1 ,2 ,3 B = 0 ,- 1 ,- 4π : x - 3 y - z = 1
Verifique se o plano π separa os pontos A e B .c) A = 0 ,0 ,0 B = 0 ,- 1 ,- 3π : x = 3 y - z - 1