Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 15.Exercício - Ex. 8a
Sejam e em relação a um sistema ortogonal de coordenadas de origem .
(a) Verifique que e são vértices de um retângulo e obtenha uma equação geral do plano que os contém.
Passo 1
Para começarmos a resolução, vamos considerar os pontos e , os quais são definidos por:
e
Devemos provar que, em um determinado arranjo, tais pontos formam um retângulo. Para tanto, vamos escolher o retângulo .
Então, bora lá!
Passo 2
Quanto valem os ângulos internos de um retângulo? 90°, certo? A seguir, checaremos se os ângulos internos desse polígono são, de fato, retos. Para isso, vamos efetuar os produtos escalares entre seus lados, os quais devem resultar em zero:
Portanto, o polígono é retângulo.
Passo 3
Por fim, precisamos descobrir o plano que contém esses pontos. Para isso, devemos notar que a equação do plano é desenvolvida a partir de um vetor perpendicular a ele. Dessa forma, um vetor conveniente para utilizarmos seria a resultante do produto vetorial de dois lados consecutivos do retângulo.
Tomando os lados e , temos:
Passo 4
Agora, com o vetor perpendicular em mãos, podemos escrever a equação do plano. Contudo, ainda falta acharmos a constante , a qual pode ser calculada substituindo qualquer outro ponto do plano, escolhendo Temos:
Portanto,