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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 8d

Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.

d) A = 5 ,   1 ,   - 2 ,   B = 3 ,   3 ,   0 ,   P = ( 1 ,   0 ,   - 2 )

Passo 1

d) Um ponto X pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t tal que

X = A + t . A B →

Sabendo que A B → = B - A = ( - 2 ,   2 ,   2 ) :

X = 5 ,   1 ,   - 2 + t . ( - 2 ,   2 ,   2 )

Então, um ponto X só pertence ao segmento A B se existir t tal que

X = 5 - 2 t ,   1 + 2 t ,   - 2 + 2 t

Passo 2

Para encontrarmos o ponto X mais próximo de P = ( 1 ,   0 ,   - 2 ) , queremos que P X → ² seja o menor possível.

Sabendo que P X → = X - P = - 2 t + 4 ,   2 t + 1 ,   2 t , temos

P X → = - 2 t + 4 2 + 2 t + 1 2 + 2 t 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

P X → = 16 - 16 t + 4 t 2 + 4 t 2 + 4 t + 1 + 4 t ²

Elevando os dois lados ao quadrado:

P X → 2 = 12 t 2 - 12 t + 17

Belezinha, temos a expressão de uma função do segundo grau com concavidade para cima, onde a = 12 ,   b = - 12 ,   c = 17 .

Passo 3

Encontrando o ponto mais próximo

Pela expressão de P X → ² , temos que ele é uma parábola com a concavidade para cima. Então, o seu menor valor vai ser o vértice dessa parábola, dado por t m i n = - b 2 a

t m i n = 12 2.12 = 1 2

Então, o valor mínimo de distância entre P e X vai ser atingido quando t = 1 2 . Substituindo no ponto genérico X , temos

X = 5 - 2 t ,   1 + 2 t ,   - 2 + 2 t

X m i n = 4 ,   2 ,   - 1

Passo 4

Encontrando o ponto mais afastado

O ponto mais afastado sempre vai ser uma das extremidades do segmento A B ta ok?

Lembrando que A = 5 ,   1 ,   - 2 ,   B = 3 ,   3 ,   0 ,   P = ( 1 ,   0 ,   - 2 ) , vamos ver quanto vale d ( A ,   P ) e d ( B ,   P ) e aí o maior valor vai ser aquele ponto mais afastado de todos hahaha

d A ,   P = 4 2 + 1 ² = 17

d B ,   P = 2 2 + 3 2 + 2 ² = 17

Bom, d A ,   P = d ( B ,   P ) , então, os pontos A e B são os mais afastados de P ;)

Resposta

d) Mais próximo: X m i n = 4 ,   2 ,   - 1

Mais afastado: A e B

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Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.c) r : X = 2 ,3 ,- 3 + λ ( 1 ,1 ,1 )A = 1 ,1 ,0B = ( 2 ,2 ,4 )
Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.c) A = 2 ,3 ,4 ,B = 1 ,1 ,2 ,P = ( 2 ,- 6 ,5 )
Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.a) A = - 2 ,3 ,3 ,B = 2 ,- 1 ,- 1 ,P = ( - 4 ,1 ,0 )
Obtenha os pontos da reta r que equidistam de A e B e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.a) r : x - 1 = 2 y = zA = 1 ,1 ,0B = ( 0 ,1 ,1 )