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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 8c

Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.

c) A = 2 ,   3 ,   4 ,   B = 1 ,   1 ,   2 ,   P = ( 2 ,   - 6 ,   5 )

Passo 1

c) Um ponto X pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t tal que

X = A + t . A B →

Sabendo que A B → = B - A = ( - 1 ,   - 2 ,   - 2 ) :

X = 2 ,   3 ,   4 + t . ( - 1 ,   - 2 ,   - 2 )

Então, um ponto X só pertence ao segmento A B se existir t tal que

X = 2 - t ,   3 - 2 t ,   4 - 2 t

Passo 2

Para encontrarmos o ponto X mais próximo de P = ( 2 ,   - 6 ,   5 ) , queremos que P X → ² seja o menor possível.

Sabendo que P X → = X - P = - t ,   - 2 t + 9 ,   - 2 t - 1 , temos

P X → = - t 2 + - 2 t + 9 2 + - 2 t - 1 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

P X → = t 2 + 81 - 36 t + 4 t 2 + 4 t 2 + 4 t + 1

Elevando os dois lados ao quadrado:

P X → 2 = 9 t 2 - 32 t + 82

Belezinha, temos a expressão de uma função do segundo grau com concavidade para cima, onde a = 9 ,   b = - 32 ,   c = 82 .

Passo 3

Encontrando o ponto mais próximo

Pela expressão de P X → ² , temos que ele é uma parábola com a concavidade para cima. Então, o seu menor valor vai ser o vértice dessa parábola, dado por t m i n = - b 2 a

t m i n = 32 2.9 = 16 9

Então, o valor mínimo de distância entre P e X vai ser atingido quando t = 16 9 . Substituindo no ponto genérico X , temos

X = 2 - t ,   3 - 2 t ,   4 - 2 t

X m i n = 2 9 ,   - 5 9 , 4 9

Passo 4

Encontrando o ponto mais afastado

O ponto mais afastado sempre vai ser uma das extremidades do segmento A B ta ok?

Lembrando que A = 2 ,   3 ,   4 ,   B = 1 ,   1 ,   2 ,   P = ( 2 ,   - 6 ,   5 ) , vamos ver quanto vale d ( A ,   P ) e d ( B ,   P ) e aí o maior valor vai ser aquele ponto mais afastado de todos hahaha

d A ,   P = 9 2 + - 1 2 = 82

d B ,   P = - 1 2 + 7 2 + - 3 2 = 59

Bom, d A ,   P > d ( B ,   P ) , então, o ponto A é o ponto mais afastado de P ;)

Resposta

c) Mais próximo: X m i n = 2 9 ,   - 5 9 , 4 9

Mais afastado: A = ( 2 ,   3 ,   4 )

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