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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 20.Exercício - Ex. 8a

Determine o ponto do segmento A B que está mais próximo de P , e o que está mais afastado.

a) A = - 2 ,   3 ,   3 ,   B = 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   P = ( - 4 ,   1 ,   0 )

Passo 1

a) Um ponto X pertence ao segmento A B se, e somente se, existe t tal que

X = A + t . A B →

Sabendo que A B → = B - A = ( 4 ,   - 4 ,   - 4 ) :

X = - 2 ,   3 ,   3 + t . ( 4 ,   - 4 ,   - 4 )

Então, um ponto X só pertence ao segmento A B se existir t tal que

X = - 2 + 4 t ,   3 - 4 t ,   3 - 4 t

Passo 2

Para encontrarmos o ponto X mais próximo de P = ( - 4 ,   1 ,   0 ) , queremos que P X → ² seja o menor possível.

Sabendo que P X → = X - P = 4 t + 2 ,   - 4 t + 2 ,   3 - 4 t , temos

P X → = 4 t + 2 2 + - 4 t + 2 2 + 3 - 4 t 2

Desenvolvendo os produtos notáveis:

P X → = 16 t 2 + 16 t + 4 + 4 - 16 t + 16 t 2 + 9 - 24 t + 16 t ²

Elevando os dois lados ao quadrado:

P X → ² = 48 t 2 - 24 t + 17

Belezinha, temos a expressão de uma função do segundo grau com concavidade para cima, onde a = 48 ,   b = - 24 ,   c = 17 .

Passo 3

Encontrando o ponto mais próximo

Pela expressão de P X → ² , temos que ele é uma parábola com a concavidade para cima. Então, o seu menor valor vai ser o vértice dessa parábola, dado por t m i n = - b 2 a

t m i n = 24 96 = 12 48 = 1 4

Então, o valor mínimo de distância entre P e X vai ser atingido quando t = 1 4 . Substituindo no ponto genérico X , temos

X = - 2 + 4 t ,   3 - 4 t ,   3 - 4 t

X m i n = ( - 1 ,   2 ,   2 )

Passo 4

Encontrando o ponto mais afastado

O ponto mais afastado sempre vai ser uma das extremidades do segmento A B ta ok?

Lembrando que A = - 2 ,   3 ,   3 ,   B = 2 ,   - 1 ,   - 1 ,   P = ( - 4 ,   1 ,   0 ) , vamos ver quanto vale d ( A ,   P ) e d ( B ,   P ) e aí o maior valor vai ser aquele ponto mais afastado de todos hahaha

d A ,   P = 2 2 + 2 2 + 3 ² = 17

d B ,   P = 6 2 + - 2 2 + - 1 2 = 41

Bom, d B ,   P > d ( A ,   P ) , então, o ponto B é o ponto mais afastado de P ;)

Resposta

a) Mais próximo: X m i n = ( - 1 ,   2 ,   2 )

Mais afastado: B = ( 2 ,   - 1 ,   - 1 )

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