Determine o ponto Q simétrico do ponto P = ( 3 , - 4 , - 6 ) em relação ao plano determinado pelos pontos A = - 6,1 , - 5 , B = ( 7 , - 2 , - 1 ) e C = 10 , - 7,1 .

Passo 1

Fala aeeee, pessoal! Tudo bem? 😊

Para determinarmos o plano π que contém os pontos A , B e C devemos achar o seu vetor n → ,normal ao plano.

Como A , B e C ∈ π . n → será:

n → = A B →   x   A C →

Passo 2

Definindo os vetores:

A B → = ( 13 , - 3,4 )

A C → = ( 16 , - 8,6 )

Assim,

n → = d e t 13 - 3 4 16 - 8 6 i → j → k → = - 104 k → - 18 i → + 64 j → - ( - 32 i → + 78 j → - 48 k → )

n → = ( 14 , - 14 , - 56 )

Passo 3

Sendo n → ⊥ π e A   ∈ π . Temos a equação de π sendo:

π : 14 - 6 - 14 1 - 56 - 5 + d = 0

d = - 182

Assim:

π : 14 x - 14 y - 56 z - 182 = 0 ÷ 14

π : x - y - 4 z - 13 = 0

Passo 4

Agora, que temos a equação do plano vamos atrás do ponto Q .

Q é simétrico de P . Logo deve satisfazer a equação:

d P , π = d ( Q , π )

Passo 5

A reta r é perpendicular ao plano π . Logo, n →   ∥ r .

Como P = 3 , - 4 , - 6 ∈ r , a equação paramétrica da reta será:

r : x = 3 + t y = - 4 - t z = - 6 - 4 t ; t ∈ R

Q é um ponto pertencente à reta, portanto deve satisfazer a equação da mesma.

Q = ( 3 + t , - 4 - t , - 6 - 4 t )

Passo 6

Calculando as distâncias:

d P , π = 3 - - 4 - 4 - 6 - 13 1 + 1 + 16 = 18 18

d Q , π = 3 + t - - 4 - t - 4 - 6 - 4 t - 13 18 = 18 t + 18 18

Portanto:

d P , π = d ( Q , π )

18 = 18 t + 18

t = 0   o u   t = - 2

Se t = 0 , então Q = P = ( 3 , - 4 , - 6 )

Se t = - 2 , então Q = ( 1 , - 2,2 )

Resposta

Q = ( 1 , - 2,2 )

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