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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 8.Exercícios Propostos - Ex. 19

Ache a superfície esférica tangente aos planos paralelos x - 2 y + 2 z + 1 = 0 e x - 2 y + 2 z - 8 = 0 sendo ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência.

Passo 1

Fala aee, pessoal! Tudo bem?

Para acharmos a superfície esférica desejada precisamos encontrar o seu centro C e o seu raio R .

Passo 2

Sendo P = ( - 3,0 , 1 ) um dos pontos de tangência, vamos descobrir em qual plano esse ponto está situado.

P   ∈ π 1 : x - 2 y + 2 z + 1 = 0 ?

- 3 - 2 0 + 2 1 + 1 = 0

0 = 0

P   ∈ π 1 .

Passo 3

n → = ( 1 , - 2,2 ) é o vetor diretor da reta r que passa pelo ponto P e C . Portanto, sua equação é:

r : x = - 3 + t y = - 2 t z = 1 + 2 t ; t   ∈ R

Como C é um ponto que pertence a reta, ele deve satisfazer a equação da reta.

C = ( - 3 + t , - 2 t , 1 + 2 t )

Passo 4

Como π 1 e π 2 são planos paralelos e tangentes à esfera, temos que:

d π 1 , π 2 = d P , π 2 = 2 R

1 2 1 - 3 - 2 0 + 2 1 - 8 1 + 4 + 4 = R

R = 3 2

Portanto:

d C , P = R

- 3 + t + 3 2 + - 2 t 2 + 1 + 2 t - 1 2 = 9 4

9 t 2 = 9 4

t = ± 1 2

Passo 5

Se t = 1 2 , temos:

C = ( - 5 2 , - 1,2 )

Se t = - 1 2 , temos:

C = - 7 2 , 1,0

Se C = - 7 2 , 1,0 os planos não serão tangentes.

Concluímos que:

E : x + 5 2 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = 9 4

Resposta

E : x + 5 2 2 + y + 1 2 + z - 2 2 = 9 4

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As superfícies esféricas S 1 : x - 1 2 + y - 3 2 + z 2 = 1 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 2 m x + 4 m y + 4 m z = 0 são tangentes. Quanto vale m ?
Sejam S 1 e S 2 superfícies esféricas não-concêntricas, C 1 e C 2 , os respectivos centros, ρ 1 e ρ 2 , os respectivos raios, tais que ρ 2 ≥ ρ 1 . Sejam δ = d C 1 ,C 2 e π o plano radical de S 1 e S 2
Sejam S 1 : x 2 + y 2 + z 2 = 9 e S 2 : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 12 y + 12 z + 72 = 0 . Obtenha a equação reduzida de uma superfície esférica tangente a ambas, sendo colineares os três termos.
Obtenha a equação reduzida da superfície esférica tangente ao plano π : z = 0 no ponto 1 ,- 2 ,0 que tangencia exteriormente à superfície esfera S : x 2 + y 2 + z 2 - 6 x - 8 y - 2 z + 1 = 0 .
Imponha uma condição aos coeficientes a , b , c e d para que o plano π : a x + b y + c z + d = 0 seja tangente à superfície esférica S : x 2 + y 2 + z 2 = ρ 2 .