Determine a projeção ortogonal do ponto P   = ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta x 3   = y + 7 5 = z - 2 2 .

Passo 1

Tudo beleza? Espero que estejam animados para mais uma questão.

Para descobrir a projeção ortogonal do ponto P   = ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta r : x 3   = y + 7 5 = z - 2 2 , precisamos determinar a reta t que passa por P e é perpendicular a reta r . Ok, antes de mais nada, é mais conveniente passar da forma simétrica para a forma paramétrica. Para isso, temos que notar que

x 3   = y + 7 5 = z - 2 2 = λ

Então, resolvemos x , y e z em termos de λ :

x 3   = λ ⇒ x = 3 λ

y + 7 5 = λ ⇒ y + 7 = 5 λ ⇒ y = 5 λ - 7

z - 2 2 = λ ⇒ z - 2 = 2 λ ⇒ z = 2 λ + 2

Passo 2

Agora, digamos que a reta t intercepta, ortogonalmente, a reta r num ponto R . Como R é o ponto de encontro de ambas as retas, ele pertence tanto a t quanto a r . Assim,

R = ( 3 λ , 5 λ - 7,2 λ + 2 ) ,

para algum valor de λ .

Basicamente, temos que descobrir que valor é esse e, além disso, a reta t passa tanto por R quanto por P . Assim, o vetor que sai de P até R deve ser paralelo a t . Vamos calcular:

P R → = R - P = ( 3 λ , 5 λ - 7,2 λ + 2 ) - ( 2 , - 1,3 ) = ( 3 λ - 2,5 λ - 7 + 1,2 λ + 2 - 3 )

P R → = ( 3 λ - 2,5 λ - 6,2 λ - 1 )

Por ser paralelo a reta t , o vetor P R → é claramente perpendicular a reta r . Assim, temos que descobrir o vetor diretor a reta r , calcular o produto interno dele com P R → e igualar a zero. O vetor diretor de uma reta

x = x 0 + λ l

y = y 0 + λ m

z = z 0 + λ n

é dado por v → = ( l , m , n ) . Olhando para as equações paramétrica da reta r (obtidas no Passo 1), vemos que seu vetor diretor é v r → = ( 3,5 , 2 ) , onde foram substituídos os valores de l , m e n ao compararmos com o resultado do Passo 1.

Passo 3

Agora, podemos calcular o produto interno:

P R → ⋅ v r → = ( 3 λ - 2,5 λ - 6,2 λ - 1 ) ⋅ ( 3,5 , 2 ) = 0 ⇒ 3 ( 3 λ - 2 ) + 5 ( 5 λ - 6 ) + 2 ( 2 λ - 1 ) = 0

⇒ 9 λ - 6 + 25 λ - 30 + 4 λ - 2 = 38   λ - 38 = 0 ⇒ λ = 1

Pronto, já sabemos que

R = ( 3 λ , 5 λ - 7,2 λ + 2 ) = ( 3,5 - 7,2 + 2 ) = ( 3 , - 2,4 )

P R → = ( 3 λ - 2,5 λ - 6,2 λ - 1 ) = ( 3 - 2,5 - 6,2 - 1 ) = ( 1 , - 1,1 )

O ponto R = ( 3 , - 2,4 ) é a projeção ortogonal do ponto P   = ( 2 , - 1,3 ) sobre a reta x 3   = y + 7 5 = z - 2 2 .

Resposta

R = ( 3 , - 2,4 )

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