Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 26
Determine a projeção ortogonal do ponto sobre a reta .
Passo 1
Tudo beleza? Espero que estejam animados para mais uma questão.
Para descobrir a projeção ortogonal do ponto sobre a reta , precisamos determinar a reta que passa por e é perpendicular a reta . Ok, antes de mais nada, é mais conveniente passar da forma simétrica para a forma paramétrica. Para isso, temos que notar que
Então, resolvemos , e em termos de :
Passo 2
Agora, digamos que a reta intercepta, ortogonalmente, a reta num ponto . Como é o ponto de encontro de ambas as retas, ele pertence tanto a quanto a . Assim,
,
para algum valor de .
Basicamente, temos que descobrir que valor é esse e, além disso, a reta passa tanto por quanto por . Assim, o vetor que sai de até deve ser paralelo a . Vamos calcular:
Por ser paralelo a reta , o vetor é claramente perpendicular a reta . Assim, temos que descobrir o vetor diretor a reta , calcular o produto interno dele com e igualar a zero. O vetor diretor de uma reta
é dado por . Olhando para as equações paramétrica da reta (obtidas no Passo 1), vemos que seu vetor diretor é , onde foram substituídos os valores de e ao compararmos com o resultado do Passo 1.
Passo 3
Agora, podemos calcular o produto interno:
Pronto, já sabemos que
O ponto é a projeção ortogonal do ponto sobre a reta .