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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 7.Exercícios Propostos - Ex. 25

  1. Estude a posição relativa da reta x - 1 2 =   y + 3 2 = z - 1 - 3 e o plano x + 2 y   +   2 z   +   6   =   0 .
  2. Determine o ponto de interseção ou a distância entre eles.

Passo 1

  1. Fala, galera! Vamos começar escrevendo a reta em sua forma parametrizada.

    2. x   =   2 λ   + 1

    y   = 2 λ   - 3

    z   = - 3 λ   + 1   ,

    ou seja,

    R   =   ( 2 λ   + 1,2 λ   - 3 , - 3 λ   + 1 )    

    Agora podemos descobrir qual o vetor diretor da reta: v r → =   ( 2,2 , - 3 ) . Para completar a comparação precisamos do vetor normal ao plano x + 2 y   +   2 z   +   6   =   0 , que será dado por n → =   ( 1,2 , 2 ) .

    Em posse do vetor diretor da reta e do vetor normal ao plano, podemos analisar a relação entre eles. Desta forma, partiremos para o produto interno:

    v r → ⋅ n →     =   ( 2,2 , - 3 ) ⋅   ( 1,2 , 2 )   =   2   +   4 - 6   =   0 .

    Logo, v r → é ortogonal ao n →   e a reta R é paralela ao plano ou está contida em x + 2 y   +   2 z   +   6   =   0 .

    Passo 2

  2. Para analisarmos se a reta está contida no plano x + 2 y   +   2 z   +   6   =   0 , vamos substituir os valores de x , y e z pelos da reta e descobrir para qual valor de λ ocorrerá o interseção, se houver. Daí,

2 λ   + 1 + 2 ( 2 λ   - 3 )   +   2 ( - 3 λ   + 1 )   +   6   =   0

⇒ λ ( 2   +   4   -   6 ) + 1   - 6   +   2   +   6   =   0

⇒ 3 =   0 ,

ou seja, a reta não está contida no plano.

Então, vamos calcular a distância entre a reta e o plano. Para isso, utilizaremos a seguinte equação:

D   = | a x 0     +   b y 0   +   c z 0   +   d | a 2   + b 2 + c 2 ,

substituindo os valores a   = 1 , b   =   2 , c   =   2 , d =   6 e x 0   =   1 , y 0   =   - 3 , z 0   =   1 . Temos

D = | 1 ⋅ 1   +   2 ⋅ ( - 3 )   +   2 ⋅ ( 1 )   +   6 | 1 2   + 2 2 + 2 2   = | 1   - 6   +   2   + 6 | 1   + 4 + 4   =   3 9   = 1   .

Resposta

  1. paralelos;
  2. D   =   1

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31. Representar graficamente os planos de equações:c) x + y - 3 = 0
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:6x − 3y + 9z = 3, 4x − 2y + 6z = 5, 2x − y + 3z = 2
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:x − 2y + z = 0, 2x − 4y + 2z = 1, x + y = 0
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:3x + 2y − z = 8, 2x − 5y + 2z = −3, x − y + z = 1
De a posição relativa dos seguintes ternos de planos:x − 2y + 3z = 2, 3x + y − 2z = 1, 5x − 3y + 4z = 4