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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Vetores e uma iniciacao a geometria analitica mello e watanabe- Ed: 2º - Capítulo 6.Exercícios Propostos - Ex. 32

Escreva equações da reta de vetor diretor ( 1,1 , 0 ) e concorrente com as retas x = 2 y = 3 z e

( x , y , z )   =   ( 4,1 - λ ,   λ ) .

Passo 1

Fala, galera! Basta lembrar que para um vetor diretor é do tipo v → = ( 1,1 , 0 ) suas equações de reta são dadas por:

x   =   x 0   +   t

y   = y 0   + t

z   =   z 0   ,

Agora, basta descobrir os valores para o ponto P   =   ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Também podemos reescrever as retas dadas na questão em suas formas paramétricas. Daí, teremos que qualquer ponto nessas retas pode ser escrito como:

R   =   ( α , α 2 , α 3 ) e S   = ( 4,1 - λ ,   λ )

A reta que queremos passa pelo ponto P =   ( x 0 , y 0 , z 0 ) . Então, temos

P R →   =   R   - P     =   ( α , α 2 , α 3 )   -   ( x 0 , y 0 , z 0 )   =   ( α - x 0 , α 2 - y 0 , α 3 - z 0 )    

P S →   =   S - P   = ( 4,1 - λ ,   λ ) -   ( x 0 , y 0 , z 0 ) =   ( 4 - x 0 , 1 - λ - y 0 , λ - z 0 )  

Passo 2

Além disso, P R → e P S → são paralelos ao vetor diretor da reta, de modo que temos

P R → = β ( 1,1 , 0 ) ⇒   ( α - x 0 , α 2 - y 0 , α 3 - z 0 ) = ( β , β , 0 )

⇒ β :   α - x 0 = α 2 - y 0

0 : α 3 - z 0 = 0 ⇒ α = 3 z 0

Agora, vamos substituir α = 3 z 0 na primeira equação:

α - x 0 = α 2 - y 0 ⇒ 3 z 0 - x 0 = 3 z 0 2 - y 0 ⇒ - 3 z 0 2 + x 0 =   y 0

⇒ y 0   = - 3 z 0 2 + x 0  

O mesmo raciocínio pode ser feito para

P S → = γ ( 1,1 , 0 ) ⇒ ( 4 - x 0 , 1 - λ - y 0 , λ - z 0 ) = ( γ , γ , 0 )

⇒ γ :   4 - x 0 = 1 - λ - y 0

0 : λ - z 0 = 0 ⇒ λ = z 0

Substituindo λ = z 0 na primeira equação, obtemos

4 - x 0 = 1 - z 0 - y 0 ⇒ y 0 = 1 - z 0 - 4 + x 0 = - 3 - z 0 + x 0

⇒ y 0 = - 3 - z 0 + x 0

Então, obtivemos duas expressões para y 0 . Igualando as duas, obtemos

- 3 - z 0 + x 0 = - 3 z 0 2 + x 0 ⇒ - 3 - z 0 = - 3 z 0 2 ⇒ z 0 - 3 z 0 2 = - 3 ⇒ - z 0 2 = - 3 ⇒ z 0 = 6

Agora, temos

y 0 = - 3 - z 0 + x 0 = - 3 - 6 + x 0 = - 9 + x 0

α = 3 z 0 = 3 ⋅ 6 = 18

λ = z 0 = 6

Passo 3

Os pontos nas retas se tornam

R   =   ( α , α 2 , α 3 ) = ( 18,9 , 6 ) e S   = ( 4,1 - λ ,   λ ) = ( 4 , - 5,6 )

Podemos argumentar que para t = 0 a reta t coincide com a reta s e para algum outro valor de t a reta t coincide com a reta r . Isso quer dizer que, para t = 0

x   =   x 0   +   t = x 0 = 4

y   = y 0   + t = y 0 = - 5

z   =   z 0 = 6   ,

e para para t > 0

x   =   x 0   +   t = 4 + t = 18 ⇒ t = 14

y   = y 0   + t = - 5 + t = 9 ⇒ t = 14

z   =   z 0 = 6  

Com isso, ficamos com a seguinte equação paramétrica:

x   = 4 +   t

y   = - 5   + t

z   =   6  

Resposta

x   = 4 +   t

y   = - 5   + t

z   =   6  

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