Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 51a
Obtenha equações da circunferência circunscrita ao triângulo PQR, nos casos:
- , e .
- , e são os pontos de interseção do plano com os eixos coordenados.
Passo 1
Bom, queremos determinar a equação de uma circunferência circunscrita a um triângulo . Isto é, uma circunferência que contêm os três vértices do triângulo.
Então, se queremos a equação de uma circunferência, precisamos de duas coisas: a equação de um plano que contém o triângulo e a equação de uma superfície esférica cujo centro é equidistante aos 3 vértices do triângulo.
Se conseguirmos obter as duas equações, obtemos a nossa circunferência.
Passo 2
Vamos começar então a resolver pela parte do nosso plano. Para obtermos o plano que contêm os pontos , e , vamos começar calculando os vetores e , vetores diretores do plano. Portanto,
Para facilitar os cálculos futuros, vamos escolher dois vetores paralelos a e , os quais serão obtidos ao multiplicarmos cada um deles por . Portanto, temos os seguintes vetores diretores do plano: e .
O vetor normal do plano será:
Portanto, o plano terá a forma:
Para descobrirmos quem é , basta substituir as coordenadas de algum ponto. Portanto, substituindo as coordenadas de , temos:
Portanto, o plano será:
Passo 3
Agora vamos para a parte um pouco mais complicada: encontrar a superfície esférica.
Neste caso aqui, existem infinitas soluções. Basta fixar o critério de equidistância dos pontos.
Então, vamos fazer o seguinte. Vamos construir uma superfície esférica centrada no centro da circunferência que queremos obter e cujo raio é exatamente o raio da circunferência!
Ao sairmos do espaço pro plano, facilitamos as contas!
Portanto, vamos descobrir as coordenadas de um ponto que pertencem a . Portanto, satisfaz a equação do plano e temos:
Logo, o ponto tem coordenadas . Agora, vamos descobrir os valores de e que são equidistantes de , e . Portanto,
Vamos agora resolver a nossa primeira equação do sistema. Logo,
Portanto, já sabemos que o nosso ponto é . Para descobrirmos quem é , vamos substituir o valor de na segunda equação do nosso sistema. Portanto,
Sendo assim, temos .
Passo 4
Quase acabando! Já temos o centro da superfície esférica. Só nos falta seu raio.
O raio da superfície será o raio da circunferência. Portanto, nada mais é que:
Portanto, a superfície será:
E a equação da circunferência será: