Dados o ponto e a superfície esférica de centro e raio , sejam e uma reta que contém e intercepta nos pontos e (eventualmente, iguais). Seja o simétrico de em relação a .

(a) Prove que

(b) Exprima e como combinação linear de , e mostre que . Conclua que não depende de , mas apenas de e . Esse número chama-se potência de em relação a .

(c) Mostre que o módulo da potência de em relação a é , e que ela é positiva se é exterior a , negativa se é interior, e nula se pertence a .

(d) Se e S: , mostre que a potência de em relação a é , valor do primeiro membro se .

(e) Calcule a potência de em relação a e obtenha dois pontos cuja potência em relação a essa mesma superfície seja .

(f) Dado o número real , descreva o lugar geométrico dos pontos de cuja potência em relação a é .

E quando estiver no interior da esfera? Aí o lado esquerdo da equação vai ser:

Mas o ângulo que nós entre e vai ser tal que:

Ou seja:

Então, voltando na equação lá de cima:

E substituindo :

Mas é justamente o ângulo formado por e , então essa é a definição do produto escalar entre eles:

Beleza, provamos essa igualdade para os dois casos!

(b) Agora vamos escrever como combinação linear de , :

E fazendo o mesmo para :

Perceba que é um raio da esfera! E como está é simétrico a , só precisamos mudar o sentido desse raio para chegar até o ponto . Veja o desenho lá em cima!

Agora vamos fazer o produto escalar que o enunciado pediu:

O produto escalar de um vetor por ele mesmo é simplesmente o quadrado da sua norma, então:

Mas o próprio enunciado diz que a distância entre e é e é um raio da esfera, então:

Mas nós vimos lá em cima que:

Então:

Essa é a tal “potência de em relação a ”. Como esperado, ela não depende do raio .

(c) Agora queremos mostrar que o módulo dessa “potência” aqui:

É igual a . Bom, pela própria definição do produto escalar:

Então:

Conforme a gente viu no passo , quando o ponto é exterior à esfera, então:

E nesse caso a potência é positiva. E quando o ponto é interior à esfera, então:

E nesse caso a potência é negativa!

(d) Quando temos uma esfera de raio e centro com essa equação geral:

E são as coordenadas de um ponto qualquer, então essa expressão:

É igual a:

No nosso caso temos , então:

Que é justamente a potência do ponto em relação à esfera .

(e) Agora queremos calcular a potência do ponto em relação a uma esfera que tem essa equação geral:

Nesse caso só precisamos substituir no termo do lado esquerdo:

E o resultado dessa expressão é .

Para encontrarmos dois pontos cuja potência em relação à esfera dê , podemos começar escrevendo esse ponto da seguinte forma geral:

Então, substituindo na fórmula:

Agora é só igualar isso a e resolver a equação do segundo grau:

E então as duas raízes são:

E então os dois pontos são:

(f) Vamos lembrar da fórmula para a potência de um ponto em relação a :

Lembrando que é o raio da esfera e é o raio da esfera formada pelo ponto :

Ou seja, todos os pontos que tem potência estão em uma esfera de raio . Voltando na expressão de cima:

Então o lugar geométrico dos pontos com potência é uma esfera com centro em e raio .

Uma obsevação importante: nos casos em que essa raiz quadrada for negativa:

Então o lugar geométrico formado pelos pontos de potência é vazio!