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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 24.Exercício - Ex. 57

Nas condições da proposição anterior:

  1. Exprima d C 1 , π em função de ρ 1 , ρ 2 , δ ;
  2. Mostre que d C 1 , π ≤ d ( C 2 , π ) (dos dois centros, o mais próximo de π é o da superfície esférica menor);
  3. Seja N o ponto de interseção da reta C 1 C 2 com o plano radical π . Calcule a razão r em que N divide C 1 , C 2 e mostre que r ≤ 1 (o que confirma a conclusão tirada no item (b)).

Passo 1

Então galera! Para provarmos a letra a), basicamente, vamos repetir a demonstração feita na proposição 24-23. Vejamos só

A equação de uma superfície esférica pode ser expressa por: S : x 2 + y 2 + z 2 + a x + b y + c z + d = 0 . Mas também podemos expressar esta mesma superfície por:

d 2 X , C - ρ 2 = 0

Portanto, temos duas superfícies:

S 2 : x 2 + y 2 + z 2 + a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = d 2 X , C 2 - ρ 2 2 = 0 S 1 : x 2 + y 2 + z 2 + a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = d 2 X , C 1 - ρ 1 2 = 0

Se subtrairmos as duas linhas, vamos obter a equação do nosso plano radical π . Portanto,

π : a 2 - a 1 x + b 2 - b 1 y + c 2 - c 1 z + d 2 - d 1 = d 2 X , C 2 - ρ 2 2 - d 2 X , C 1 - ρ 1 2 = 0

Observem que o vetor normal do plano n → = a 2 - a 1 , b 2 - b 1 , c 2 - c 1 = 2 C 1 C 2 → . Logo, a norma do vetor n → é exatamente igual a 2 δ .

O pulo do gato é agora. Vamos analisar a expressão acima que obtivemos no plano π .

Se substituirmos X = C 1 = - a 1 2 , - b 1 2 , - c 1 2 acima, não teremos uma igualdade a zero mais, apenas uma inequação, visto que o ponto C 1 não pertence ao plano π .

Então, analisando o que ocorre antes da igualdade a zero, temos:

a 2 - a 1 ⋅ - a 1 2 + b 2 - b 1 - b 1 2 + c 2 - c 1 - c 1 2 + d 2 - d 1 = d 2 C 1 , C 2 - ρ 2 2 - d 2 C 1 , C 1 - ρ 1 2

a 2 - a 1 ⋅ - a 1 2 + b 2 - b 1 - b 1 2 + c 2 - c 1 - c 1 2 + d 2 - d 1 = δ 2 - ρ 2 2 - 0 - ρ 1 2

a 2 - a 1 ⋅ - a 1 2 + b 2 - b 1 - b 1 2 + c 2 - c 1 - c 1 2 + d 2 - d 1 = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2

Pronto! Quase finalizando basta agora fazermos a distância do ponto C 1 ao plano π . Portanto,

d C 1 , π = a 2 - a 1 ⋅ - a 1 2 + b 2 - b 1 - b 1 2 + c 2 - c 1 - c 1 2 + d 2 - d 1 | | n → | |

d C 1 , π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ

E assim, provamos a relação da letra a).

Passo 2

Agora, temos que provar que:

d C 2 , π ≥ d C 1 , π

d C 2 , π - d C 1 , π ≥ 0

Para isto, vamos substituir as relações obtidas na proposição 24-23 e na letra a) desta questão. Portanto,

δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 2 δ - δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ ≥ 0

Temos que analisar as duas possibilidades devido ao módulo. Se conseguirmos verificar que, em ambos os casos temos uma verdade, então provamos a relação pedida na questão.

Portanto, nosso primeiro caso será δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 > 0 . Portanto,

δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 2 δ - δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ ≥ 0

ρ 2 2 - ρ 1 2 δ ≥ 0

Como o raio da superfície 2 é maior que o da superfície 1, temos que a relação acima é uma verdade!

Agora, temos que provar o segundo caso. Ele será dado por δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 < 0 . Portanto,

δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 2 δ + δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ ≥ 0

δ ≥ 0

Passo 3

Para finalizarmos a questão, vamos para a letra c). Lá, nos é informado que o ponto N é a interseção da reta C 1 C 2 com o plano π . Podemos escrever então que:

d C 1 , π = d C 1 , N = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ

d C 2 , π = d C 2 , N = δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 2 δ

A razão de divisão do segmento total r será dada por:

r = d C 1 , N d C 2 , N = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 2 δ

r = d C 1 , N d C 1 , C 2 = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2

Portanto, sabemos que o valor de r está entre:

- δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 ≤ r ≤ δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2

Ou, tomando em módulo,

| r | ≤ δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2

Se chamarmos n 2 = ρ 2 2 - ρ 1 2 ≥ 0 , visto que ρ 2 ≥ ρ 1 , temos:

| r | ≤ δ 2 - n 2 δ 2 + n 2

Portanto, como δ 2 ≥ 0 e n 2 ≥ 0 , temos δ 2 - n 2 ≤ δ 2 + n 2 , ou

δ 2 - n 2 δ 2 + n 2 ≤ 1

Portanto,

r ≤ δ 2 - n 2 δ 2 + n 2 ≤ 1

r ≤ 1

Resposta

  1. d C 1 , π = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 2 δ

  2. Definição provada;
  3. r = δ 2 - ρ 2 2 + ρ 1 2 δ 2 + ρ 2 2 - ρ 1 2 .
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