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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch e Paulo Winterle - Geometria Analítica- Ed: 1º - Capítulo 8.Problemas Propostos - Ex. 4b

Determinar a equação de cada uma das superfícies esféricas definidas pelas seguintes condições:

O segmento de extremos A ( - 1 ,   3 ,   - 5 ) e B ( 5 ,   - 1 ,   - 3 ) é um dos seus diâmetros.

Passo 1

Nessa questão, devemos montar a equação da esfera seguindo condições no enundiado.

A equação da esfera é dada na forma:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 = R 2

Os parâmetros dessa equação são:

  • ( x c ,   y c ,   z c ) são as coordenadas do Centro.
  • R é o raio

Achando a equação da esfera, a gente finaliza abrindo os quadrados para a forma expandida.

Passo 2

Vamos definir quais são os parâmetros ( x c ,   y c ,   z c ) .

Porém, o enunciado nos deu apenas os extremos que formam um dos diâmetros. Então, o centro C ( x c ,   y c ,   z c ) será dado pelo ponto médio entre esses extremos. Assim:

x c ,   y c ,   z c = x A + x B 2 , y A + y B 2 , z A + z B 2

Como A ( - 1 ,   3 ,   - 5 ) e B ( 5 ,   - 1 ,   - 3 )

x A = - 1 y A = 3 z A = - 5   e x B = 5 y B = - 1 z B = - 3

x c ,   y c ,   z c = - 1 + 5 2 , 3 + ( - 1 ) 2 , - 5 + ( - 3 ) 2

x c ,   y c ,   z c = - 1 + 5 2 , 3 - 1 2 , - 5 - 3 2

x c ,   y c ,   z c = 4 2 , 2 2 , - 8 2

x c ,   y c ,   z c = ( 2 ,   1 ,   - 4 )

Logo,

x c = 2 y c = 1 z c = - 4

Passo 3

Para acharmos o raio, vamos usar da equação 2 R = A B → uma vez que A e B formam extremos diametralmente opostos.

2 R = A B →

2 R = | 5 + 1 ,   - 1 - 3 ,   - 3 + 5 |

2 R = | 6 ,   - 4 ,   2 |

2 R = 6 2 + - 4 2 + 2 2

2 R = 36 + 16 + 4

2 R = 56

2 R = 4 ∙ 14

2 R = 2 14

R = 14

Passo 4

Agora, vamos pegar cada um dos fatores e montar a nossa equação de acordo com o modelo:

x - x c 2 + y - y c 2 + z - z c 2 = R 2

x - 2 2 + y - 1 2 + z - ( - 4 ) 2 = ( 14 ) 2

x - 2 2 + y - 1 2 + z + 4 2 = 1 4

Passo 5

Por fim, vamos abrir os quadrados para termos a equação da forma expandida.

x - 2 2 + y - 1 2 + z + 4 2 = 14

x 2 - 4 x + 4 + y 2 - 2 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 - 14 = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + ( 4 + 1 + 16 - 14 ) = 0

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 7 = 0

Pronto! Era isso que a questão pedia!

Resposta

x 2 + y 2 + z 2 - 4 x - 2 y + 8 z + 7 = 0

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