Enunciado

Se A é uma matriz triangular superior, então A^2 é?

Passo 1

Se A é uma matriz triangular superior, é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal são nulos, veja como exemplo:

[[[2,-,1,0],[0,-,1,4],[0,0,3]]]

Vamos calcular A^2 :

A^2 = [[[2,-,1,0],[0,-,1,4],[0,0,3]]] * [[[2,-,1,0],[0,-,1,4],[0,0,3]]]

= [[[2,*,2,+,(- 1),*,0,+,0,*,0,2,*,(- 1),+,(- 1),*,(- 1),+,0,*,0,2,*,0,+,(- 1),*,4,+,0,*,3],[0,*,2,+,(- 1),*,0,+,4,*,0,0,*,(- 1),+,(- 1),*,(- 1),+,4,*,0,0,*,0,+,(- 1),*,4,+,4,*,3],[0,*,2,+,0,*,0,+,3,*,0,0,*,(- 1),+,0,*,(- 1),+,3,*,0,0,*,0,+,0,*,4,+,3,*,3]]]

= [[[4,+,0,+,0,-,2,+,1,+,0,0,-,4,+,0],[0,+,0,+,0,0,+,1,+,0,0,-,4,+,12],[0,+,0,+,0,0,+,0,+,0,0,+,0,+,9]]] = [[[4,-,1,-,4],[0,1,8],[0,0,9]]]

Então A^2 é uma matriz do tipo triangular superior também.

Resposta

A^2 é uma matriz do tipo triangular superior também

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c) Se A e uma matriz tal A 2 = 0 , então A = 0? Justifique.
Sejam:A = 1 - 3 0 0 4 - 2 e X = x y z Verifique que x A 1 + y A 2 + z A 3 = A X , em que A j é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2, 3.
Mostre que se A é uma matriz mxn tal que AX = 0, para toda matriz X, nx1, então A = 0.
Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 0 1 - 1 0 , então AB = BA.
Seja D =λ 1 0 ⋯ 0 0 λ 2 … 0 ⋮ 0 … ⋱ 0 ⋮ λ n Uma matriz diagonal nxn, isto é, os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero. Seja A =a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ a n 1⋮… a n 2 … ⋮