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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 32.Problemas - Ex. 8

Determine todos os pontos de coordenadas positivas que pertencem simultaneamente aos planos definidos pelas três equações abaixo

2 x   -   6 y   +   2 z   =   4   x   +   2 y   +   5 z   =   4   3 x   -   9 y   +   3 z   =   6

Passo 1

Escalonando o sistema na seguinte ordem

L 1 2 → L 2 - L 1 → L 3 - 3 L 1 → L 2 5 → L 1 + 3 L 2

Conseguimos obter o sistema

x + 17 5 z = 16 5 y + 4 5 z = 2 5  

Que nos permite obter infinitas soluções, então vamos encontrar apenas as positivas.

Deixando em função de z, temos que a solução geral é

A = 16 5 - 17 5 z 2 5 - 4 5 z z

Para que z seja positivo então,

16 5 - 17 5 z > 0 → z < 16 17

2 5 - 4 5 z > 0 → z < 1 2

Como 16 17 > 1 2 , então para todo z menor que 16/17, a coordenada é positiva e pertence simultaneamente aos planos

Resposta

16 5 - 17 5 z , 2 5 - 4 5 z , z   c o m   z < 16 / 17

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