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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 7d

Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .

d) A = 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1

Passo 1

Vamos escrever A X = λ X como A X = λ I n X , pois essas expressões são equivalentes. Podemos, então, manipular a expressão obtida de forma que:

A X - λ I n X = 0

Colocando X em evidência:

A - λ I n X = 0

Como sabemos que X ≠ 0 ,isso implica que A - λ I n = 0 .

A expressão só terá soluções não triviais quando det ⁡ A - λ I n = 0 .

Passo 2

Como A é uma matriz 4x4, precisamos que a matriz identidade I n também seja 4x4 para realizarmos a subtração. Assim:

A - λ I 4 =   2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1 - λ 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

A - λ I 4 =   2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1 0 1 1 - λ 0 0 0 0 λ 0 0 0 0 0 0 λ 0 0 λ

A - λ I 4 =   2 - λ 2 3                 4 0 2 - λ 3                 2 0 0 0 0 1 - λ 0 1 1 - λ

Passo 3

Por fim, calculando o determinante:

det ⁡ A - λ I n = det ⁡ 2 - λ 2 3                 4 0 2 - λ 3                 2 0 0 0 0 1 - λ 0 1 1 - λ =

2 - λ ∙ 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 1 - λ + 2 ∙ 3 ∙ 1 ∙ 0 + 3 ∙ 2 ∙ 0 ∙ 0 + 4 ∙ 0 ∙ 0 ∙ 0 - 4 ∙ 3 ∙ 0 ∙ 0

- 3 ∙ 2 - λ ∙ 0 ∙ 1 - λ - 2 ∙ 0 ∙ 1 ∙ 0 - 2 - λ ∙ 2 ∙ 1 - λ ∙ 0 =

2 - λ ∙ 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 1 - λ + 0 + 0 + 0 - 0 - 0 - 0 - 0 =  

2 - λ ∙ 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 1 - λ

Como queremos que o determinante seja 0:

2 - λ ∙ 2 - λ ∙ 1 - λ ∙ 1 - λ = 0

Resolvendo:

2 - λ = 0

λ = 2

Ou

1 - λ = 0

λ = 1

Resposta

λ = 1 ou λ = 2 .

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Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A – λI)X = 0.d) 2 2 3 4 0 2 3 2 0 0 0 0 1
Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A – λI)X = 0.c) 1 2 3 4 0 - 1 3 2 0 0 0 0