Sejam e sub-espaços de um espaço tais que . Sejam e as aplicações de em tais que para todo de (com e ) associam, respectivamente, e , ou seja e . Mostrar que e são lineares.

Certo, mas qual o motivo dessa informação ser tão importante? Bom, vejamos a aplicação . Ela é do espaço para o espaço . Só que analisem a imagem dela: para , .

Então, para o vetor , a imagem será , que pertence apenas ao subespaço . A consequência deste resultado é que nós podemos analisar a nossa operação como . E, se formos mais adiante ainda, como o domínio e a imagem estão contidos no subespaço , temos que, para , .

Toda a discussão do parágrafo anterior é o ponto chave para resolver esta questão. Se a gente repete o mesmo raciocínio para , temos e .

Agora que nós já entendemos como funciona as nossas aplicações, vamos checar se elas são lineares. Para isto, precisamos checar as seguintes duas condições:

Então, vamos desenvolver ambas as relações para cada aplicação. Então, seja e , analisando primeiramente para , temos:

E assim verificamos a primeira condição para a aplicação . Analisando a segunda condição, temos:

E assim provamos a segunda condição. Portanto, mostramos que a aplicação é linear sim!

Para finalizarmos a questão, basta repetirmos o procedimento do Passo 3, só que para a aplicação . Então, seja e . Analisando para , temos:

E assim verificamos a primeira condição para a aplicação . Analisando a segunda condição, temos:

E assim finalizamos a questão comprovando que a aplicação também é linear!