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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 4b

Calcule o determinante das seguintes matrizes:

b) [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]]

Passo 1

Vem com a gente para mais uma resolução!

Vamos começar com o passo a passo do cálculo desse determinante:

det [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]] =

cos beta t (alpha sin beta t + beta cos beta t) - sin beta t ( alpha cos beta t - beta sin beta t )

Passo 2

Desenvolvendo:

cos beta t (alpha sin beta t + beta cos beta t) - sin beta t (alpha cos beta t - beta sin beta t) =

alpha sin betat cos beta t + beta cos beta t cos beta t - alpha cos beta t sin beta t + beta sin betat sin beta t

Reorganizando:

alpha sin betat cos beta t - alpha cos beta t sin beta t + beta (cos beta t)^2 + beta ( sin beta t )^2 = 0 + beta (cos beta t)^2 + beta ( sin beta t )^2

beta (cos beta t)^2 + beta ( sin beta t )^2 = beta ( (cos beta t)^2 + (sin beta t )^2)

Passo 3

Usando as propriedades trigonométricas:

(cos beta t)^2 + ( sin beta t )^2 = 1

det [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]] = beta ( (cos beta t)^2 + (sin beta t )^2)

det [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]] = beta ( 1 )

Resposta

det [[[cos beta t,sin beta t],[alpha cos beta t,-,beta sin beta t,alpha sin beta t,+,beta,cos beta t]]] = beta

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Determine todos os valores de λ para os quais det(A-λ I n ) = 0, em que c) A = 2 - 2 3 0 3 - 2 0 - 1 2
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X .b) A = 2 3 0 0 1 0 0 0 2
Determine os valores de λ reais tais que existe X = x 1 ⋮ x n ≠ 0 que satisfaz A X = λ X . A = 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3
Determine todos os valores de λ para os quais det(A-λ I n ) = 0, em que b) A = 1 0 0 - 1 3 0 3 2 - 2
Para as matrizes do exercício anterior, e os valores de λ encontrados, encontre a solução geral do sistema AX = λX, ou equivalentemente, do sistema homogêneo (A – λI)X = 0. 2 0 0 3 - 1 0 0 4 3