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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 33.Problemas - Ex. 2

Determine os valores de m e n para os quais o sistema

2 x   -   y   +   3 z   =   1  

x   +   2 y   -   z   =   4  

3 x   +   y   +   m z   =   n  

é:

a) indeterminado

b) impossível.

Passo 1

Fala minha gente, vamos escalonar nosso sistema e descobrir valores que deixam o sistema indeterminado e impossível, bora.

2 - 1 3 1 1 2 - 1 4 3 1 m n → L 2 - L 1 2 → 2 - 1 3 1 0 5 2 - 5 2 7 2 3 1 m n

L 3 - 3 L 1 2 → 2 - 1 3 1 0 5 2 - 5 2 7 2 0 5 2 2 m - 9 2 2 m n - 3 2   → L 3 - L 2 → 2 - 1 3 1 0 5 2 - 5 2 7 2 0 0 m - 2 n - 5

Temos nosso sistema, agora vamos descobrir para quando m e n o sistema é indeterminado e impossível.

Passo 2

  1. Para que o sistema seja indeterminado, a ultima linha deve ser zero na matriz, dessa forma m = 2 e n = 5.

Passo 3

  1. Para o sistema ser impossível o determinante da matriz sistema deve ser 0, juntamente com o determinante de uma matriz secundária, trocando a coluna da aumentada por qualquer uma do sistema deve ser diferente de zero. Assim:

d e t 2 - 1 3 1 2 - 1 3 1 m = 0

2 m - 10 = 0 → m = 2

Analisando uma matriz secundária para se obter n:

d e t 2 - 1 1 1 2 4 3 1 n ≠ 0

5 n - 25 ≠ 0 → n ≠ 5

Resposta

  1. m = 2 e n = 5
  2. m = 2 e n ≠ 5

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