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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 1.4 - Ex. 3

Discutir os seguintes Sistemas Lineares (em função de a ) :

x + y - a z = 0 a x + y - z = 2 - a x + a y - z = - a e a x + 2 y = 6 3 x - y = - 2 x + y = 0

Passo 1

Vamos começar estudando o primeiro sistema:

x + y - a z = 0   → L 1 a x + y - z = 2 - a   → L 2 x + a y - z = - a   → L 3

Vamos fazer as seguintes operações:

L 2 -   a L 1 → L 2

L 3 -   L 1 → L 3

L 3 +   L 2 → L 3

Nosso sisteminha vai ficar com essa carinha aqui:

x + y - a z = 0   → L 1 1 - a y + ( a 2 - 1 ) z = 2 - a   → L 2 ( a 2 + a - 2 ) z = 2 - 2 a   → L 3

Vamos então analisar os possíveis casos:

Se observarmos em L 3   que se a   =   1 , a terceira equação se reduz a 0 = 0 e, portanto, teremos um sistema cujo número de equações é menor que o número de incógnitas, logo o sistema é compatível indeterminado.

Além disso, para a = - 2 ou a = 1 teremos um sistema incompatível, pois ao substituir   a = 1 em L 3 ,a equação se reduz a 0 = 0 . Entretanto, ao substituir a = 1 em L 2 , a segunda equação se reduz a 0 = 1 .

Para a   =   - 2 , em L 3   teremos algo como 0   =   k   ( k ≠ 0 )   tornando o sistema incompatível.

Finalmente, para a ≠ 1 , a ≠ - 2 , sempre teremos um sistema compatível determinado.

Belezinha?

Passo 2

Agora vamos discutir o segundo sistema

a x + 2 y = 6   → L 1 3 x - y = - 2     → L 2 x + y = 0   → L 3

Vamos transformar esse sistema num sistema escalonado:

Primeiro vamos trocar as linhas L 1 e L 3 e depois L 2 com L 3 . ficando com o sistema assim:

x + y = 0   → L 1 a x + 2 y = 6     → L 2   3 x - y = - 2   → L 3

Agora podemos fazer as operações abaixo para escalonar o sistema:

L 2 -   a L 1 → L 2

L 3 -   3 L 1 → L 3

E teremos

x + y = 0   → L 1 2 - a y = 6     → L 2   - 4 y = - 2   → L 3

Se a = 2 , teríamos um caso do tipo 0 y = 6 onde não conseguiríamos determinar o valor da incógnita, porém sabemos da segunda equação que y = 1 2 . Beleza?

Podemos reparar que se y = 1 2 ou a = - 10 , vamos ter um Sistema Compatível Determinado.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada item suponha que a matriz aumentada de um sistema foi transformada usando operações elementares na matriz escalonada reduzida dada. Resolva o sistema correspondente.
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Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0abc : a x + a y + c z = a ² + c ² ² ²b x - a y + c z = c ² - b ² ² ²a x + c y - b z = a ² - c ² ² ²