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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 33.Problemas - Ex. 16

Resolva o sistema abaixo, sabendo que 0 < a < b < c :

a x + a y + c z = a ² + c ²

b x - a y + c z = c ² - b ²

a x + c y - b z = a ² - c ²

Passo 1

Saudações galerinha, tudo bem?

Vamos começar a resolver mais um exercício, bora lá então!

Inicialmente começaremos realizando substituições estratégicas:

a^2 + c^2 = T

c^2 - b^2 = V

a^2 - c^2 = E

Logo nosso sistema será:

a x + a y + c z = T

b x - a y + c z = V

a x + c y - b z = V

Então resolvendo esse sistema utilizando a regra de Cramer temos:

Delta = [[a,a,c],[b,-,a,c],[a,c,-,b]] = ( a b^2 + a^2 b - a c^2 + 2 a ² c )

Delta 1 = [[T,a,c],[V,-,a,c],[E,c,-,b]] = (T a b + V a b - T c^2 + V c^2 + 2 a c) . E

Delta 2 = [[a,T,c],[b,V,c],[a,E,-,b]] = ( T b^2 - V a b + T a c - V a c - a c + b c ) . E

Delta 3 = [[a,a,T],[b,-,a,V],[a,c,E]] = (T a^2 + V a^2 - a^2 - a b - V a c + T b c) . E

Até aí tranquilo?

Passo 2

Continuando com aplicação da regra de Cramer!

x = (T a b + V a b - T c^2 + V c^2 + 2 a c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a ² c) . E

Lembrando das substituições que fizermos!

a^2 + c^2 = T

c^2 - b^2 = V

a^2 - c^2 = E

Vou substituir na expressão para encontrar o valor algébrico de x :

x = (a^3 b - a b^3 - c^2 a^2 + 2 c^4 - c^2 b^2 + 2 a c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a ² c) . E

x = (a^3 b - a b^3 - c^2 a^2 + 2 c^4 - c^2 b^2 + 2 a c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

Passo 3

Quase acabando, vamos encontrar o valor algébrico para y :

Continuando com aplicação da regra de Cramer!

y = (T b^2 - V a b + T a c - V a c - a c + b c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a ² c) . E

Lembrando das substituições que fizermos!

a^2 + c^2 = T

c^2 - b^2 = V

a^2 - c^2 = E

Vou substituir na expressão para encontrar o valor algébrico de y :

y = (b^2 a^2 - b^2 c^2 - a c^2 b + a b^3 + a^3 c - 2 a c^3 + a c b^2 - a c + c b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . E

y = (b^2 a^2 - b^2 c^2 - a c^2 b + a b^3 + a^3 c - 2 a c^3 + a c b^2 - a c + c b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

Quase acabando!

Passo 4

Quase acabando, vamos encontrar o valor algébrico para z :

Continuando com aplicação da regra de Cramer!

z = (T a^2 + V a^2 - a^2 - a b - V a c + T b c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a ² c) . E

Lembrando das substituições que fizermos!

a^2 + c^2 = T

c^2 - b^2 = V

a^2 - c^2 = E

Vou substituir na expressão para encontrar o valor algébrico de z :

z = (a^4 - a^2 b^2 - a^2 - a b - a c^3 + a c b^2 + a^2 c b - c^3 b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . E

z = (a^4 - a^2 b^2 - a^2 - a b - a c^3 + a c b^2 + a^2 c b - c^3 b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

Prontinho!

Acabamos te vejo na próxima questão!

Resposta

x = (a^3 b - a b^3 - c^2 a^2 + 2 c^4 - c^2 b^2 + 2 a c)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

y = (b^2 a^2 - b^2 c^2 - a c^2 b + a b^3 + a^3 c - 2 a c^3 + a c b^2 - a c + c b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

z = (a^4 - a^2 b^2 - a^2 - a b - a c^3 + a c b^2 + a^2 c b - c^3 b)/(a b^2 + a^2 b - a c^2 + b c^2 + 2 a^2 c) . ( a^2 - c^2 )

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