Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 8

Dizemos que um operador auto adjunto T : V → V , em um espaço com produto interno de dimensão finita é (definido) positivo se < T V , V > 0 , para todo V ∈ V ,   V ∈ 0 - . Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) O operador T e definido positivo.

b) O operador T e auto adjunto é todos os autovalores de T são positivos.

c) Existe um operador auto adjunto e definido positivo S tal que T = S 2 . O operador S é chamado raiz quadrada de T .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão se dizermos que um operador auto adjunto T : V → V , em um espaço com produto interno de dimensão finita é (definido) positivo se < T V , V > 0 , para todo V ∈ V ,   V ∈ 0 - . Mostre que são equivalentes as seguintes afirmações:

a) O operador T e definido positivo.

b) O operador T e auto adjunto é todos os autovalores de T são positivos.

c) Existe um operador auto adjunto e definido positivo S tal que T = S 2 . O operador S é chamado raiz quadrada de T .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

< T V , V > 0 V ∈ V ,   V ∈ 0 - , temos

Na letra (a) para mostrar que T é definido como positivo temos,

T V ∈ V

Na letra (b) para o operador T é auto adjunto a todos os autovalores de T sejam positivos, temos

< T V , V > ≠ 0 -

E por fim na letra ( c ) para existir um operador adjunto e positivo tal que T = S 2 , temos

S 2 ∈ V

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) T V ∈ V

b) < T V , V > ≠ 0 -

c) S 2 ∈ V

Exercícios de Livros Relacionados

Em P 2 ( R ) com o produto interno usual,Ortonormalizar a base { 1,1 + t , 2 t 2 } .Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] .
Determinar um polinômio de grau 3 em P 3 ( R ) que seja ortogonal a 1 , t , t 2 com relação ao produto interno definido no início deste capítulo como exemplo 2.
Determinar uma base ortonormal do subespaço W do R 3 dado por W = x , y , z ∈R 3 x - y = 0 }
Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do R 4 utilizando o processo de Gram-Schmidt: W = [ 1,1 , 0,0 , 0,1 , 2,0 , 0,0 , 3,4 ] W = [ 2,0 , 0,0 , 1,3 , 3,0 , 3 , - 3 - 3,0 ]
Sejam u e v dois vetores linearmente independentes do R 3 . Mostrar que existem dois, e apenas dois vetores de norma igual a 1 que são ortogonais simultaneamente a u e v .