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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 7

Em P 2 ( R ) com o produto interno usual,

  1. Ortonormalizar a base { 1,1 + t , 2 t 2 } .
  2. Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] .

Passo 1

  1. Ortonormalizar a base { 1,1 + t , 2 t 2 } .

    2. Vamos lá! A base ortonormal é { w 1 , w 2 , w 3 } , onde

    w 1 = 1 1

    Como 1 é o polinômio de grau 2 dado como p x = 0 x 2 + 0 x + 1 , teremos que o módulo desse polinômio será:

    p x = p x , p x

    p x = ∫ 0 1 p x p x d t

    Tal que:

    1 = ∫ 0 1 1 d t

    1 = 1

    Segue que w 1 será:

    w 1 = 1

    Iradoso, agora o vetor w 2 será dado como:

    w 2 = w 2 ' w 2 '

    Onde podemos obter w 2 ' através do processo de ortogonalização dado como:

    w 2 ' = 1 + t - 1 + t , 1 1

    w 2 ' = 1 + t - ∫ 0 1 1 + t d t

    w 2 ' = 1 + t - 3 2

    w 2 ' = t - 1 2

    Então teremos que:

    w 2 = w ' 2 w ' 2 = t t

    w 2 = t - 1 2 ∫ 0 1 1 + t 2 d t

    Logo:

    W 2 = t - 1 2 2 3

    w 2 = 2 3 t - 3

    Show?!

    Agora vamos encontrar w 3 :

    w ' 3 = 2 t 2 - 2 t 2 , 1 . 1 - 2 t 2 , 2 3 t - 3 2 3 t - 3

    De modo que:

    w ' 3 = 2 t 2 - ∫ 0 1 2 t 2 d t - 2 3 t - 3 ∫ 0 1 2 t 2 2 3 t - 3 d t

    w ' 3 = 2 t 2 - 2 t + 1 3

    E da mesma forma:

    w 3 = w ' 3 w ' 3

    w 3 = 3 5 2 t 2 - 2 t + 1 3

    w 3 = 5 6 t 2 - 6 t + 1

    Logo, a base ortonormal é

    { 1 ,   2 3 t - 3 , 5 6 t 2 - 6 t + 1 }

    Beleza?

    Passo 2

  2. Achar o complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] .

Bora lá! Para encontrar o com complemento ortogonal do subespaço W = [ 5,1 + t ] , que iremos denotar por W ⊥ , vamos considerar

p t = a + b t + c t 2

Tal que

p t , 5 = 0

p t , 1 + t = 0

Então

5 a + 5 2 b + 5 3 c = 0

3 2 a + 5 6 b + 7 12 c = 0

Beleza??

Assim,

b = - 2 3 a , c = - 4 a

Portanto,

W ⊥ = { p t = a + b t + c t 2 :   p t , 5 = 0 , p t , 1 + t = 0 }

Ou seja,

W ⊥ = { p t = a + b t + c t 2 :   b = - 2 3 a , c = - 4 a ,       a   ∈ R }

Logo,

W ⊥ = 1 - 2 3 t - 4 t 2

Show de bola?

Resposta

  1. { 1 ,   2 3 t - 1 2 , 5 6 t 2 - 6 t + 1 }
  2. W ⊥ = 1 - 2 3 t - 4 t 2
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Seja T :R 2 → R 2 o operador linear que transforma u em T ( u ) e v em T ( v ) , conforme figura.a) Dar a lei do operador T .b) Determinar a transformação linear que transforma T ( u ) em u e T ( v )
Seja o operador linear T :R 3 → R 3 definido pela matriz: 1 0 1 2 - 1 1 0 0 - 1 a) Mostrar que T é um isomorfismo.b) Determinar a lei de que define o operador T - 1 .c) Utilizar a matriz de T ou de T
Utilizar a inversão de matrizes 2 × 2 para mostrar que:A transformação inversa de uma dilatação ao longo de um eixo é uma contração ao longo desse eixo.
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x + z , x - z ,
A seguir são dados operadores lineares T em R 2 e em R 3 . Verificar quais são invertíveis e, nos casos afirmativos, determinar uma fórmula para T - 1 . T :R 3 → R 3 , T x , y , z = ( x - y + 2 z , y