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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Callioli - Álgebra Linear e Aplicações - Parte 1- Ed: 6º - Capítulo 6.4 - Ex. 3

Determinar uma base ortonormal de cada um dos seguintes subespaços do R 4 utilizando o processo de Gram-Schmidt:

  1. W = [ 1,1 , 0,0 , 0,1 , 2,0 , 0,0 , 3,4 ]

  2. W = [ 2,0 , 0,0 , 1,3 , 3,0 , 3 , - 3 - 3,0 ]

Passo 1

  1. W = u 1 , u 2 , u 3 = [ 1,1 , 0,0 , 0,1 , 2,0 , 0,0 , 3,4 ]

    2. Primeira coisa que vamos fazer é encontrar

    w 1 = u 1 u 1 = 1,1 , 0,0 1 + 1 = 1 2 , 1 2 , 0,0

    Agora encontraremos

    w ~ 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1

    Note que

    u 2 , w 1 = 1 2

    Assim,

    w ~ 2 = 0,1 , 2,0 - 1 2 1 2 , 1 2 , 0,0 = - 1 2 , 1 2 , 2,0

    Portanto,

    w 2 = w ~ 2 w ~ 2 = - 1 2 , 1 2 , 2,0 1 4 + 1 4 + 4 = - 2 6 , 2 6 , 2 2 3 , 0

    Logo,

    w 2 = - 2 6 , 2 6 , 2 2 3 , 0

    Já temos w 1   e w 2 . Agora falta achar w 3 :

    w ~ 3 = u 3 - u 3 , w 1 w 1 - u 3 , w 2 w 2

    Note que

    u 3 , w 1 = 0

    E

    u 3 , w 2 = 2 2

    Assim

    w ~ 3 = 0,0 , 3,4 - 2 2 - 2 6 , 2 6 , 2 2 3 , 0 = 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 4

    Portanto,

    w 3 = w ~ 3 w ~ 3 = 2 3 , - 2 3 , 1 3 , 4 2 3 2 + - 2 3 2 + 1 3 2 + 4 2 = 2 17 51 , - 2 17 51 , 17 51 , 4 17 17

    Logo, a base ortonormal é 1 2 , 1 2 , 0,0 , - 2 6 , 2 6 , 2 2 3 , 0 , 2 17 51 , - 2 17 51 , 17 51 , 4 17 17 .

    Beleza?

    Passo 2

  2. W = [ 2,0 , 0,0 , 1,3 , 3,0 , 3 , - 3 - 3,0 ]

Primeira coisa que vamos fazer é encontrar

w 1 = u 1 u 1 = ( 2,0 , 0,0 ) 2 2 = ( 1,0 , 0,0 )

Agora encontraremos

w ~ 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1

Note que

u 2 , w 1 = 1

Assim,

w ~ 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1 = 1,3 , 3,0 - 1 1,0 , 0,0 = ( 0,3 , 3,0 )

Portanto,

w 2 = w ~ 2 w ~ 2 = ( 0,3 , 3,0 ) 9 + 9 = 0 , 3 18 , 3 18 , 0 = 0 , 1 2 , 1 2 , 0

Logo,

w 2 = 0 , 1 2 , 1 2 , 0

Já temos w 1   e w 2 . Agora falta achar w 3 :

w ~ 3 = u 3 - u 3 , w 1 w 1 - u 3 , w 2 w 2

Note que

u 3 , w 1 = 3 e u 3 , w 2 = - 3 2

Assim

w ~ 3 = u 3 - u 3 , w 1 w 1 - u 3 , w 2 w 2 = 3 , - 3 - 3,0 - 3 1,0 , 0,0 + 3 2 0 , 1 2 , 1 2 , 0 = ( 0 , - 6 , - 6,0 )

Portanto,

w 3 = w ~ 3 w ~ 3 = ( 0 , - 6 , - 6,0 ) 36 + 36 = 0 , - 1 2 , - 1 2 , 0

Logo, a base ortonormal é 1,0 , 0,0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , 0 , - 1 2 , - 1 2 , 0 .

Resposta

  1. 1 2 , 1 2 , 0,0 , - 1 2 , 1 2 , 0,0 , 0,0 , 3 5 , 4 5 .

  2. 1,0 , 0,0 , 0 , 1 2 , 1 2 , 0 , 0 , - 1 2 , - 1 2 , 0 .
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Sabendo que: I B A = - 7 6 - 11 8e A = 1 ,3 ,2 ,- 4 , determine a base B .
Em relação aos operadores dados, determinar a matriz de T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B . T :R 3 → R 3 ,T x , y , z = ( x -
Seja T :R 2 → R 2 um operador linear. Consideremos as bases A canônica e B = { 4 ,1 ,- 11 , - 3 } . Sabendo que T B = 3 5 1 2 determinar T A , utilizando a relação entre matrizes semelhantes.
Consideremos as seguintes bases do R 3 : A = 1 ,0 ,0 ,0 ,1 ,0 ,0 ,0 ,1 eB = { 1 ,0 ,- 1 ,0 ,1 , - 1 ,- 1 ,1 ,1 } a) Determinar a matriz I B A .b) Utilizar a matriz obtida no item (a) para calcular v B
Seja o operador linear T :R 2 → R 2 , T x , y = ( x + y , x - y ) .a) Determinar T B , sendo B = { 1 ,2 ,0 , - 1 } .b) Utilizar a matriz encontrada em (a) para calcular T v B sabendo que v = ( 4 ,2 )