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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 4

Seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Suponha que T seja auto adjunto se V for um espaço vetorial real e que T seja norma se 𝕍 for um espaço vetorial complexo. Sejam λ 1 , … , λ k autovalores distintos de T . Sejam w i = N T - λ i I   e   P i : V → V a projeção ortogonal em w i , para i = 1 , … , k . Mostre que

a) V = w 1 ⊕ … ⊕ w k .

b) w i ⊥ = w 1 + … + w i - 1 + w i + 1   + … + w k .

c) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j .

d) I = P 1 + … + P k , chamada resolução da identidade induzida por T .

e) T = λ 1 P 1 + … + λ k P k , chamada decomposição espectral do operador T .

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa seja T : V → V um operador linear em um espaço vetorial de dimensão finita com produto interno. Suponha que T seja auto adjunto se V for um espaço vetorial real e que T seja norma se 𝕍 for um espaço vetorial complexo. Sejam λ 1 , … , λ k autovalores distintos de T . Sejam w i = N T - λ i I   e   P i : V → V a projeção ortogonal em w i , para i = 1 , … , k . Mostre que

a) V = w 1 ⊕ … ⊕ w k .

b) w i ⊥ = w 1 + … + w i - 1 + w i + 1   + … + w k .

c) P i P j = 0 , a transformação linear nula, se i ≠ j .

d) I = P 1 + … + P k , chamada resolução da identidade induzida por T .

e) T = λ 1 P 1 + … + λ k P k , chamada decomposição espectral do operador T .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Na letra (a) para mostrar que

V = w 1 ⊕ … ⊕ w k .

Ficando,

V 1 + … + V k = 0 - → c o m   V i ∈ N ( T - λ i I )

Na letra (b) para,

w i ⊥ = w 1 + … + w i - 1 + w i + 1   + … + w k .

Ficando,

w k = { ( - α - β , β , α ) | α , β ∈ R }

Na letra ( c ) para P i P j = 0 , a transformação linear nula temos,

P i 2 = P i para i = 1 , … , k

Com i ≠ j

Na letra (d) para I = P 1 + … + P k , temos

P i : V → V , com

V 1 ∈ w 1

Na letra (e) para T = λ 1 P 1 + … + λ k P k , temos

T k = q k t P k + r k ( t )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) V 1 + … + V k = 0 - → c o m   V i ∈ N ( T - λ i I )

b) w k = { ( - α - β , β , α ) | α , β ∈ R }

c) i ≠ j

d) V 1 ∈ w 1

e) T k = q k t P k + r k ( t )

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