Determinar uma base ortonormal do subespaço W do R 3 dado por

W = x , y , z ∈   R 3     x - y = 0 }

Passo 1

Vamos lá! Primeira coisa que vamos fazer é obter a base de W :

W = x , y , z ∈   R 3     x - y = 0 } = x , x , z ∈   R 3     x , z   ∈   R }

Portanto o conjunto β = 1,1 , 0 , 0,0 , 1 gera W . Se você reparar eles não são múltiplos um do outro, então são L.I. Logo β é base de W . Beleza?

Passo 2

Para construir a base ortogonal usamos o processo de Gram-Schmidt:

w 1 = ( 1,1 , 0 ) 2 = 1 2 , 1 2 , 0

w ' 2 = u 2 - u 2 , w 1 w 1 = ( 0,0 , 1 )

Então

w 2 = ( 0,0 , 1 )

Logo, a base ortonormal é 1 2 , 1 2 , 0 , ( 0,0 , 1 ) .

Resposta

1 2 , 1 2 , 0 , ( 0,0 , 1 )

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