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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 13

Uma matriz A , n   x   n , é chamada (definida) positiva se o operador T : R n → R n definido por T X = A X , para todo X ∈ R n e um operador definido positivo. Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de uma matriz A , n   x   n , eliminando-se as ultimas n - k linhas e colunas. A k e chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A e simétrica e definida positiva, então:

a) A é não singular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Passo 1

Fala aiii meus lindos tudo blz? espero que sim

Então se liga só nessa questão uma matriz A , n   x   n , é chamada (definida) positiva se o operador T : R n → R n definido por T X = A X , para todo X ∈ R n e um operador definido positivo. Para k = 1 , … , n , seja A k a submatriz obtida de uma matriz A , n   x   n , eliminando-se as ultimas n - k linhas e colunas. A k e chamada submatriz principal de A de ordem k . Mostre que se A e simétrica e definida positiva, então:

a) A é não singular;

b) det ⁡ ( A ) > 0 ;

c) as submatrizes principais A 1 , … , A n são todas definidas positivas.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que uma matriz A , n   x   n tendo um operador T : R n → R n , com k = 1 , … , n temos que na letra (a) para A não singular, temos

A = T → A = X ∈   C n

Na letra (b) para det ⁡ ( A ) > 0

det ⁡ ( A - λ I ) → f i c a n d o

det ⁡ ( A ) ≠ 0

E por fim na letra ( c ) para as submatrizes principais A 1 , … , A n , temos

< T x , x >   = x t A x

Ficando,

T x = A x ,   p a r a   t o d o   X ∈ R 3

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) X ∈   C n

b) det ⁡ ( A ) ≠ 0

c) T x = A x ,   p a r a   t o d o   X ∈ R 3

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