Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - LIMA, Elon L. Geometría analítica e Álgebra Linear- Ed: 2º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 3
Diz-se que duas circunferências se cortam ortogonalmente quando, em cada ponto da sua interseção, as tangentes respectivas são perpendiculares. Isto ocorre se, e somente se, o quadrado da distância entre seus centros é igual à soma dos quadrados dos seus raios (por quê?). A partir daí, mostre que as duas circunferências
cortam-se ortogonalmente.
Passo 1
Olááá, tudo bem?
Nessa questão vamos trabalhar com equação da circunferência. Para resolvermos a questão, primeiramente vamos simplificar as equações para encontrarmos o centro e raio da circunferência.
Começando pela primeira equação, vamos aplicar o método da cascatinha dividindo os coeficientes dos termos “-4x” e “5y” por “-2”
O centro da primeira equação é . Continuando aplicação do método, precisamos encontrar o raio da circunferência. Temos que
Nós já temos esses valores, , e , logo
Logo,
Passo 2
Agora vamos repetir esses passos para a segunda equação. Vamos simplifica-la dividindo todos os termos por 2
Agora vamos aplicar o método da cascatinha dividindo os coeficientes dos termos “2x” e “-3y” por “-2”
O centro da primeira equação é . Continuando aplicação do método, precisamos encontrar o raio da circunferência. Temos que
Nós já temos esses valores, , e , logo
Logo,
Passo 3
Agora que temos todos os valores do centro e do raio, vamos verificar se as tangentes são perpendiculares. Para que seja verdade, os raios das circunferências devem apresentar um ângulo de 90° no ponto de interseção. Basicamente, vamos aplicar o teorema de Pitágoras .
Como não temos o valor do terceiro lado, vamos encontrar o seu valor calculando o
Passo 4
Tendo em mãos todos os valores, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Os lados que formam o ângulo de 90° são dos raios, logo o valor encontrado no Passo 3 é a hipotenusa.
Portanto, provamos que as duas circunferências se cortam ortogonalmente.
Até a próxima!! =]