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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 10

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (1 , 2 , 3) r : x = 1 z = - 1

Passo 1

Como x = 1 e z = - 1 , temos que a reta r tem o formato:

(x , y , z) = ( 1 , y , - 1 )

(x , y , z) = (1 , 0 , - 1) + y . ( 0 , 1 , 0 )

Transformando y em parâmetro t , a equação vetorial de r é

r : X = (1 , 0 , - 1) + t . ( 0 , 1 , 0 )

Passo 2

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( 1 , t , - 1 )

O primeiro passo é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 0 , 1 , 0 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( 0 , t - 2 , - 4 )

Temos:

vec P Q . vec r = 0

(0 , t - 2 , - 4) . (0 , 1 , 0) = 0

t - 2 = 0

t = 2

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 2 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( 1 , t , - 1 )

Q = (1 , 2 , - 1)

Passo 3

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 1 , 2 , 3 ) e Q = (1 , 2 , - 1) :D Usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , Q) = sqrt((1 - 1)^2 + (2 - 2)^2 + (3 - ( - 1 ))^2)

d (P , Q) = sqrt(16) = 4

E essa é a distância entre P e r :P

Resposta

4

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Calcule a distância do ponto P à reta r .a) P = (0 , - 1 , 0) , r : x = 2 y - 3 = 2 z - 1
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.d) A = 3 ,2 ,1B = 0 ,1 ,2r : x = 2 y - z = y - 2 z + 3
Obtenha os pontos da reta r que equidistam das retas s e t :a) r : x - 1 = 2 y = zs : x = y = 0 t : x - 2 = z = 0
Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.b) A = 1 ,0 ,3B = 2 ,1 ,2r : 2 x - y + z = 0 = x + z - 1
Obtenha uma equação vetorial da reta r contida no plano π : y = z , sabendo que a medida angular entre r e s : X = 1 ,1 ,2 + λ ( 1 ,- 1 ,0 ) é 60 ° e que r dista 1 do ponto P = ( 1 ,0 ,0 ) .