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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 7.Problemas propostos - Ex. 6

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (0 , 0 , 0) r : {[[2 x - y + z - 3 = 0],[x + y - 2 z + 1 = 0]])

Passo 1

Pra começar, temos equações planares de r , só que pra encontrarmos a distância de P até r , precisamos da sua equação vetorial, paramétrica ou simétrica. Então vamos começar achando sua equação vetorial. Temos

r : {[[2 x - y + z - 3 = 0],[x + y - 2 z + 1 = 0]])

Somando as duas equações:

3 x - z - 2 = 0

z = 3 x - 2

Agora vamos substituir isso na primeira equação:

2 x - y + 3 x - 2 - 3 = 0

y = 5 x - 5

Logo, a equação de r tem o formato

(x , y , z) = ( x , 5 x - 5 , 3 x - 2 )

r : X = (0 , - 5 , - 2) + t . ( 1 , 5 , 3 )

Belezinha, encontramos a equação vetorial de r :)

Passo 2

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( t , - 5 + 5 t , - 2 + 3 t )

O primeiro passo, é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 1 , 5 , 3 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( t , - 5 + 5 t , - 2 + 3 t )

Temos:

vec P Q . vec r = 0

(t , - 5 + 5 t , - 2 + 3 t) . (1 , 5 , 3) = 0

t - 25 + 25 t - 6 + 9 t = 0

35 t = 31

t = (31)/(35)

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = (31)/(35) , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( t , - 5 + 5 t , - 2 + 3 t )

Q = ((31)/(35) , - (4)/(7) , (23)/(35))

Passo 3

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 0 , 0 , 0 ) e Q = ((31)/(35) , - (4)/(7) , (23)/(35)) :D Usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , Q) = sqrt(((31)/(35) - 0)^2 + (- (4)/(7) - 0)^2 + ((23)/(35) - 0)^2)

d (P , Q) = sqrt((54)/(35))

Resposta

sqrt((54)/(35))

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Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x - 1 = y + z = 3 , s = 3 x + y + z = x - y - z = 0 e t : x - y = x + z = 1 + z .
Calcular:A distância do ponto P ( 1,2 , 3 ) a cada um dos eixos coordenados.
Calcular:A distancia do ponto P (1,2 , 3) , à reta:r : {[[x,=,1,-,2,t],[y,=,,,,,,,,,2,t],[z,=,2,-,,,t]])
Dados o ponto A = 3,4 , - 2 e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Determinar o ponto simétrico de em relação à r .
Dados o ponto A = ( 3,4 , - 2 ) e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Calcular a distância de A a r .