Enunciado

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (3 , - 1 , 1) r : (x , y , z) = (2 , 3 , - 1) + t . ( 1 , - 4 , 2 )

Passo 1

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( 2 + t , 3 - 4 t , - 1 + 2 t )

O primeiro passo é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 1 , - 4 , 2 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( - 1 + t , 4 - 4 t , - 2 + 2 t )

Temos:

vec P Q . vec r = 0

(- 1 + t , 4 - 4 t , - 2 + 2 t) . (1 , - 4 , 2) = 0

- 1 + t - 16 + 16 t - 4 + 4 t = 0

21 t = 21

t = 1

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 1 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( 2 + t , 3 - 4 t , - 1 + 2 t )

Q = (3 , - 1 , 1)

Passo 2

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 3 , - 1 , 1 ) e Q = (3 , - 1 , 1) :D Epa epa epa, como assim?? Os pontos P e Q são iguais gente!!

O que isso quer dizer?? Isso mesmo, que o ponto P dado pelo enunciado já está na reta r hahaha logo, a distância entre P e r é 0!! :P

Resposta

0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A diagonal B D de um quadrado está contida em r : x - 1 = y - z = 0 . Sendo O um dos vértices, determine os outros três.
Obtenha uma equação vetorial da reta r que dista 1 do ponto P = ( 1 ,2 ,1 ) , é concorrente com s : X = - 1 ,1 ,1 + λ ( 0 ,- 1 ,2 ) e paralela a t : 2 x - z - 1 = y = 2 .
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E ³ ³ que equidistam de r : x = y = z ,s : x - z = y = 0 e A = 1 ,0 ,1 é a reunião de duas retas paralelas, e obtenha equações dessas retas.
Deduza a fórmula abaixo: d P , r = A P → ∧ r → r → (a) raciocinando assim: se v → = proj r → ⁡ A P → , então A P → - v → = d P , r (recorde a condição (b) da Definição 9-12);(b) aplicando o Teorema de
Mostre que o lugar geométrico dos pontos de E 3 que equidistam das retas r : x + y - 1 = z = 0 e s : x + z - 1 = y = 0 é a reunião de dois planos transversais, e obtenha equações desses planos.