Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (3 , - 1 , 1) r : (x , y , z) = (2 , 3 , - 1) + t . ( 1 , - 4 , 2 )

Passo 1

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( 2 + t , 3 - 4 t , - 1 + 2 t )

O primeiro passo é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 1 , - 4 , 2 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( - 1 + t , 4 - 4 t , - 2 + 2 t )

Temos:

vec P Q . vec r = 0

(- 1 + t , 4 - 4 t , - 2 + 2 t) . (1 , - 4 , 2) = 0

- 1 + t - 16 + 16 t - 4 + 4 t = 0

21 t = 21

t = 1

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 1 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( 2 + t , 3 - 4 t , - 1 + 2 t )

Q = (3 , - 1 , 1)

Passo 2

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 3 , - 1 , 1 ) e Q = (3 , - 1 , 1) :D Epa epa epa, como assim?? Os pontos P e Q são iguais gente!!

O que isso quer dizer?? Isso mesmo, que o ponto P dado pelo enunciado já está na reta r hahaha logo, a distância entre P e r é 0!! :P

Resposta

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