Enunciado

Achar a distância do ponto P à reta r nos casos:

P (1 , 2 , 3) r : e i x o O x

Passo 1

Temos que a reta r é o eixo O x , logo, é uma reta que passa pelo origem e tem vetor diretor vec i = ( 1 , 0 , 0 ) , sua equação vetorial é, portanto:

r : X = (0 , 0 , 0) + t . ( 1 , 0 , 0 )

Passo 2

Para encontrarmos a distância de P até r , primeiro precisamos de um ponto genérico de r , que de acordo com sua equação vetorial, pode ser dado por

Q = ( t , 0 , 0 )

O primeiro passo é encontrarmos um valor para o parâmetro t tal que vec P Q seja perpendicular ao vetor diretor de r , que é ( 1 , 0 , 0 ) , ou seja, o produto escalar entre eles deve ser 0!! Sabendo que

vec P Q = Q - P = ( t - 1 , - 2 , - 3 )

Temos:

vec P Q . vec i = 0

(t - 1 , - 2 , - 3) . (1 , 0 , 0) = 0

t - 1 + 0 . (- 2) + 0 . ( - 3 ) = 0

t = 1

Então, se o t que satisfaz nossas condições é t = 1 , vamos substituir esse valor no ponto Q , e aí temos

Q = ( t , 0 , 0 )

Q = (1 , 0 , 0)

Passo 3

Agora, pra finalizar, é só encontrarmos a distância entre P = ( 1 , 2 , 3 ) e Q = (1 , 0 , 0) :D Usando a fórmula de distância entre pontos:

d (P , Q) = sqrt((1 - 1)^2 + (2 - 0)^2 + (3 - 0)^2)

d (P , Q) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13)

E essa é a distância entre P e r :P

Resposta

sqrt(13)

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