Enunciado
Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 8
O dono de um negócio em rápida expansão descobre que, nos cinco primeiros meses do ano, as vendas (em milhares) foram . O dono coloca esses dados num gráfico e conjectura que, pelo resto do ano, a curva de vendas pode ser aproximada por um polinômio quadrático. Encontre o polinômio quadrático de ajuste de mínimos quadrados à curva de vendas e use-o para projetar as vendas no décimo segundo mês do ano.
Passo 1
Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.
O problema matemático é ajustar uma curva quadrática .
A partir dos dados, vamos considerar pontos. , , , e .
Temos então que:
E:
Temos que:
Vamos encontrar a sua inversa a partir de operações de linha:
Passo 2
Multiplicando a primeira coluna por temos que:
Vamos multiplicar a primeira coluna por e somar com a segunda coluna. Teremos:
Vamos multiplicar a primeira coluna por e somar com a terceira coluna:
Vamos multiplicar a segunda coluna por :
Agora vamos multiplicar a segunda coluna por e somar com a terceira coluna:
Vamos multiplicar a terceira coluna por . Teremos:
Multiplicando a terceira coluna por e somando com a segunda coluna teremos:
Multiplicando a terceira coluna por e somando à primeira, temos:
E por último, mas não menos importante, vamos multiplicar a segunda coluna por e somar à primeira coluna:
A inversa será:
Passo 3
Agora vamos aplicar o ajuste linear. Temos que:
Substituindo, teremos:
Resolvendo, temos que:
Portanto nossa curva quadrática será:
Aplicando a , temos: