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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Boulos - Geometria Analítica - Ed: 3º - Capítulo 22.Exercício - Ex. 10a

A elipse E tem centro O, focos em um dos eixos coordenados, e contém os pontos A e B. Em cada caso, escreva uma equação reduzida de E e determine os focos.

  1. A = 3,2 , B = 1,4 .
  2. A = 5,2 , B = 2,4 .
  3. A = - 4 , - 6 , B = 2,3 .

Passo 1

Já começamos sabendo que a nossa elipse tem centro em O . Isto é muito importante pois com esta informação, sabemos que ela não está transladada! Então, a sua equação reduzida pode ser:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

Bom, o trabalho desta questão está em descobrir estes valores a e b para poder escrever a sua equação reduzida e depois escrevermos as coordenadas dos focos.

A ideia é substituirmos as coordenadas dos pontos A e B e montarmos um sistema de equação. Ao resolvermos este sistema, teremos os valores de a e b da nossa elipse.

Passo 2

Vamos agora as contas. Portanto, os pontos A = 3,2 , B = 1,4 pertencem a nossa elipse. Logo, nossa primeira equação será:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

3 2 a 2 + 2 2 b 2 = 1

9 a 2 + 4 b 2 = 1

9 b 2 + 4 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = 9 b 2 + 4 a 2

E vamos parar por aqui. Agora, vamos substituir as coordenadas de B . Portanto,

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

1 2 a 2 + 4 2 b 2 = 1

1 a 2 + 16 b 2 = 1

b 2 + 1 6 a 2 a 2 b 2 = 1

a 2 b 2 = b 2 + 16 a 2

Agora, vamos igualar as duas expressões a 2 b 2 obtidas. Com isto, temos:

b 2 + 16 a 2 = 9 b 2 + 4 a 2

8 b 2 = 12 a 2

b 2 = 3 a 2 2

Agora, vamos substituir esta relação em qualquer uma das que obtivemos antes para descobrirmos o valor de a . Portanto,

a 2 b 2 = b 2 + 16 a 2

a 2 ⋅ 3 a 2 2 = 3 a 2 2 + 16 a 2

3 a 4 2 = 3 a 2 + 32 a 2 2 = 35 a 2 2

3 a 4 = 35 a 2

a 2 = 35 3

a = 105 3

Lembrem-se que os parâmetros geométricos são sempre positivos! Se substituirmos o valor de a na relação de b , vamos obter o seguinte valor:

b 2 = 3 a 2 2 = 3 ⋅ 35 3 2 = 35 2

b = 70 2

E portanto, a equação reduzida da nossa elipse é:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

x 2 105 3 2 + y 2 70 2 2 = 1

x 2 35 3 + y 2 35 2 = 1

Passo 3

Agora, só nos resta calcularmos os focos. Como o maior denominador é o denominador do y , pois:

35 2 > 35 3

Então, os focos estão no eixo O y e são dados por F = 0 , ± c , sendo c = b 2 - a 2 (normalmente é a 2 - b 2 , mas como aqui o a foi dito denominador de x , para não nos confundirmos agora, vamos utilizar a outra relação).

OBS: Se você tentar calcular utilizando a relação tradicional e não conseguir pois vai dar raiz de um número negativo, é só inverter a ordem da subtração dentro da raiz!

Continuando, o valor de c será:

c = b 2 - a 2 = 35 2 - 35 3 = 35 6 = 210 6

E portanto, os focos são:

F = 0 , ± 210 6

Resposta

Equação reduzida da elipse:

x 2 35 3 + y 2 35 2 = 1

Focos:

F = 0 , ± 210 6

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