25. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P ,   Q e R e calcular a área do triângulo P Q R , dado que:

a) P 3,0 , 0 ,   Q ' 0,3 , 0 e R 0,0 , 2 ;

b) P 2,3 , 0 ,   Q 0,2 , 1 e R 2,0 , 2 .

Passo 1

(a) Bem.. Sabemos que temos que fazer produto vetorial (pelo nome do capítulo, ne). E sabemos que o produto vetorial de dois vetores é igual a um vetor ortogonal aos dois, ne...

Então vamos representar mais ou menos uma figura com os dois vetores formados pelos pontos dados e o vetor ortogonal:

Então temos que: (eu peguei o ponto Q como referencial, mas podemos pegar qualquer ponto)

Q Q ' → = Q R → × Q P →

Passo 2

Vamos achar cada vetor a partir dos pontos:

Q R → = R - Q

Q R → = 0,0 , 2 - 0,3 , 0

Q R → = 0 , - 3,2

Q P → = P - Q

Q P → = 3,0 , 0 - 0,3 , 0

Q P → = 3 , - 3,0

Passo 3

Agora fazemos o produto vetoria:

Q R → × Q P → = i ^ j ^ k ^ 0 - 3 2 3 - 3 0

Q R → × Q P → = - 3 0 i ^ + 2 3 j ^ + 0 - 3 k ^ - 3 - 3 k ^ - - 3 2 i ^ - 0 0 j ^

Q R → × Q P → = 6 i ^ + 6 j ^ + 9 k ^

Então:

Q Q ' → = 6 i ^ + 6 j ^ + 9 k ^

PS: Essa resposta está corretíssima, mas no gabarito ele coloca na forma paramétrica, por isso ta em função de t .

Passo 4

Como já calculamos o produto vetoria, então só precisamos calcular o módulo de Q Q ' → , pois:

A Δ = 1 2 Q R → × Q P →

Calculando o módulo:

Q R → × Q P → = 6 2 + 6 2 + 9 2

Q R → × Q P → = 3 17

Então a área do triângulo P Q R :

A Δ = 1 2 3 17

A Δ = 3 17 2

Resposta

Q Q ' → = 6 i ^ + 6 j ^ + 9 k ^

A Δ = 3 17 2

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