Enunciado

25. Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P ,   Q e R e calcular a área do triângulo P Q R , dado que:

a) P 3,0 , 0 ,   Q ' 0,3 , 0 e R 0,0 , 2 ;

b) P 2,3 , 0 ,   Q 0,2 , 1 e R 2,0 , 2 .

Passo 1

(b) Bem.. Sabemos que temos que fazer produto vetorial (pelo nome do capítulo, ne). E sabemos que o produto vetorial de dois vetores é igual a um vetor ortogonal aos dois, ne...

Então vamos representar mais ou menos uma figura com os dois vetores formados pelos pontos dados e o vetor ortogonal:

Então temos que: (eu peguei o ponto Q como referencial, mas podemos pegar qualquer ponto)

Q Q ' → = Q R → × Q P →

Passo 2

Vamos achar cada vetor a partir dos pontos:

Q R → = R - Q

Q R → = 2,0 , 2 - 0 , 2,1

Q R → = 2 , - 2,1

Q P → = P - Q

Q P → = 2,3 , 0 - 0,2 , 1

Q P → = 2,1 , - 1

Passo 3

Agora fazemos o produto vetoria:

Q R → × Q P → = i ^ j ^ k ^ 2 - 2 1 2 1 - 1

Q R → × Q P → = - 2 - 1 i ^ + 1 2 j ^ + 2 1 k ^ - 2 - 2 k ^ - 1 1 i ^ - - 1 2 j ^

Q R → × Q P → = i ^ + 4 j ^ + 6 k ^

Então:

Q Q ' → = i ^ + 4 j ^ + 6 k ^

PS: Essa resposta está corretíssima, mas no gabarito ele coloca na forma paramétrica, por isso ta em função de t .

Passo 4

Como já calculamos o produto vetoria, então só precisamos calcular o módulo de Q Q ' → , pois:

A Δ = 1 2 Q R → × Q P →

Calculando o módulo:

Q R → × Q P → = 1 2 + 4 2 + 6 2

Q R → × Q P → = 53

Então a área do triângulo P Q R :

A Δ = 1 2 53

A Δ = 53 2

Resposta

Q Q ' → = i ^ + 4 j ^ + 6 k ^

A Δ = 53 2

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Diga se cada expressão a seguir tem sentido. Se não, explique por quê. Se tiver, diga se é um vetor ou um escalar. a ⋅ b × c a ×( b ⋅c ) a ×( b ×c ) a ⋅b ×c ( a ⋅b ) ×( c ⋅d ) a ×b ⋅( c ×d )
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .
Encontre o vetor, não com determinantes, mas usando propriedades do produto vetorial. k × ( i - 2 j )