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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Paulo Winterle - Vetores e Geometria Analítica- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas propostos - Ex. 26

26. Calcular z , sabendo-se que A 2,0 , 0 , B 0,2 , 0 e C 0,0 , z são vértices de um triângulo de área 6.

Passo 1

Já vimos nos exercícios anteriores que a área do triângulo pode ser calculada como:

A Δ = 1 2 A B → × A C →

Passo 2

Vamos, então, achar os vetores:

A B → = B - A

A B → = 0,2 , 0 - 2,0 , 0

A B → = - 2,2 , 0

A C → = C - A

A C → = 0,0 , z - 2,0 , 0

A C → = - 2,0 , z

Passo 3

Vamos fazer o produto vetorial agora:

A B → × A C → = i ^ j ^ k ^ - 2 2 0 - 2 0 z

A B → × A C → = 2 z i ^ + 0 - 2 j ^ + - 2 0 k ^ - - 2 2 k ^ - 0 0 i ^ - z - 2 j ^

A B → × A C → = 2 z i ^ + 2 z j ^ + 4 k ^

E calculando seu módulo:

A B → × A C → = 2 z 2 + 2 z 2 + 4 2

Passo 4

Jogando tudo na fórmula:

A Δ = 1 2 A B → × A C →

6 = 1 2 2 z 2 + 2 z 2 + 4 2

12 = 2 z 2 + 2 z 2 + 4 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

144 = 2 z 2 + 2 z 2 + 4 2

144 = 4 z 2 + 4 z 2 + 16

8 z 2 = 128

z 2 = 16

z = 4   o u   z = - 4

Resposta

z = 4   o u   z = - 4

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