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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 12.4 - Ex. 3

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo isso é correr pro abraço...

Temos a = 1 i + 3 j - 2 k = 1,3 , - 2 b = - 1 i + 0 j + 5 k = - 1,0 , 5   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k 1 3 - 2 - 1 0 5 =

= i ∙ 3 ∙ 5 + j ∙ ( - 2 ) ∙ ( - 1 ) + k ∙ 0 ∙ 1 - i ∙ 0 ∙ ( - 2 ) + j ∙ 1 ∙ 5 + k ∙ 3 ∙ ( - 1 ) =

= 15 i + 2 j + 0 k - 0 i - 5 j + 3 k =

= 15 i - 3 j + 3 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ⁡ α

a × b ∙ a = 15 , - 3,3 ∙ 1,3 , - 2 =

= 15 ∙ 1 + - 3 ∙ 3 + 3 ∙ ( - 2 ) = 0

Passo 3

Temos que a × b = 15 2 + ( - 3 ) 2 + 3 2 = 243 a = 1 2 + 3 2 + ( - 2 ) 2 = 14 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 243 ∙ 14 cos ⁡ α 0 →

→ 243 ∙ 14 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = 15 , - 3,3 ∙ - 1,0 , 5 =

= 15 ∙ ( - 1 ) + - 3 ∙ 0 + 3 ∙ 5 = 0

Passo 5

Temos que a × b = 15 2 + ( - 3 ) 2 + 3 2 = 243 b = ( - 1 ) 2 + 0 2 + 5 2 = 26 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 243 ∙ 26 cos ⁡ α 0 →

→ 243 ∙ 26 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

15 i - 3 j + 3 k

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Calcular a área do paralelogramo cujos lados são determinados pelos vetores 2 u → e - v → , sendo u → = ( 2 , - 1 ,0 ) e v → = ( 1 ,- 3 ,2 ) .
Calcular a área do triângulo de vérticesb) A 1 ,0 ,1 , B = 4 ,2 ,1 e C ( 1 ,2 ,0 )
Calcular a área do triângulo de vérticesd) A - 1 ,2 ,- 2 , B = 2 ,3 ,- 1 e C ( 0 ,1 ,1 )
Sendo os vetores u → e v → vetores do espaço, com v → ≠ 0 :mostrar que u → + v → × u → - v → = 2 v → × u → .
Dados os vetores u → = 0 ,1 , - 1 , v → = ( 2 ,- 2 ,- 2 ) e w → = ( 1 , - 1 ,2 ) , determinar o vetor x → paralelo a w → , que satisfaz à condição x → × u → = v → .