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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4

Determine o produto vetorial a × b e verifique que ele é ortogonal a a e b .

Passo 1

Nesse exercício devemos descobrir se o produto vetorial ( a × b ) é ortogonal tanto à a quanto à b , mas o quê quer dizer um vetor ser ortogonal à outro? Para ser ortogonal o ângulo formado entre eles deve ser 90 ° , sabendo isso é correr pro abraço...

Temos a = 1 i - 1 j - 1 k = 1 , - 1 , - 1 b = 1 2 i + 1 j + 1 2 k = 1 2 , 1 , 1 2   , agora vamos fazer o produto vetorial:

a × b =   i j k 1 - 1 - 1 1 2 1 1 2 =

= i ∙ - 1 ∙ 1 2 + j ∙ - 1 ∙ 1 2 + k ∙ 1 ∙ 1 - i ∙ 1 ∙ - 1 + j ∙ 1 ∙ 1 2 + k ∙ - 1 ∙ 1 2 =

= - 1 2 i - 1 2 j + 1 k + 1 i - 1 2 j + 1 2 k =

= 1 2 i - 1 j + 3 2 k

Passo 2

Agora vamos descobrir se o vetor a é ortogonal ao vetor a × b . Para isso façamos o produto escalar entre eles, porque sabemos que se o ângulo for de 90 ° o produto escalar será 0 . Para calcularmos a ∙ b precisamos lembrar da definição do produto escalar. Se a = ( a 1 ,   a 2 ,   a 3 ) e b = ( b 1 ,   b 2 ,   b 3 ) ; o produto escalar entra a e b é dado por:

a ∙ b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = a b cos ⁡ α

a × b ∙ a = 1 2 , - 1 , 3 2 ∙ 1 , - 1 , - 1 =

= 1 2 ∙ 1 + - 1 ∙ ( - 1 ) + 3 2 ∙ ( - 1 ) = 0

Passo 3

Temos que a × b = 1 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 2 = 11 4 a = 1 2 + - 1 2 + - 1 2 = 3 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 11 4 ∙ 3 cos ⁡ α 0 →

→ 11 4 ∙ 3 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Passo 4

Agora queremos descobrir se o vetor b também é ortogonal ao vetor a × b , para isso vamos usar os mesmos conceitos que usamos para descobrir se a era ortogonal.

a × b ∙ b = a × b b cos ⁡ α

a × b ∙ b = 1 2 , - 1 , 3 2 ∙ 1 2 , 1 , 1 2 =

= 1 2 ∙ 1 2 + - 1 ∙ 1 + 3 2 ∙ 1 2 = 0

Passo 5

Temos que a × b = 1 2 2 + ( - 1 ) 2 + 3 2 2 = 11 4 b = 1 2 2 + 1 2 + 1 2 2 = 6 4 = 3 2 ; sabemos que:

a × b ∙ a = 11 4 ∙ 3 2 cos ⁡ α 0 →

→ 11 4 ∙ 3 2 cos ⁡ α = 0

cos ⁡ α = 0

α = 90 °

Resposta

1 2 i - 1 j + 3 2 k

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