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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 2

Encontre o ângulo entre o plano 2x – y + z = 0 e o plano que passa pelo ponto P = (1, 2, 3) e é perpendicular ao vetor i → - 2 j → + k → .

Passo 1

Com base nas informações dadas, podemos inferir quais são os vetores normais dos dois planos:

N 1 = 2 , - 1,1

N 2 = 1 , - 2 , 1

Passo 2

O ângulo entre os planos pode ser calculado pela fórmula:

cos ⁡ θ =   N 1 ∙ N 2 N 1 N 2

N 1 ∙ N 2 = 2 ∙ 1 + - 1 ∙ - 2 + 1 ∙ 1 = 5

N 1 =   2 2 + ( - 1 ) 2 + 1 2 =   6

N 2 =   1 2 + ( - 2 ) 2 + 1 2 =   6

Passo 3

Aplicando os valores encontrados à fórmula:

cos ⁡ θ =   5 6 6

cos ⁡ θ =   5 6

arccos ⁡ 5 6 ≈ 33,56 °

Resposta

O ângulo entre os planos é de aproximadamente 33,56 ° .

Exercícios de Livros Relacionados

Dada a reta r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 Encontre as equações da reta perpendicular às retas r 1 e r 2 .
Seja π o plano que passa pela origem e é perpendicular à reta que une os pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 1, 0). Encontre a distância do ponto C = (1, 0, 1) ao plano π .
Determine os planos que contém a reta r :x - 2 y + 2 z = 0 3 x - 5 y + 7 z = 0 E formam com o plano π 1 : x + z = 0 um ângulo de 60°.