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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 9

Dada a reta r: X = (1, 0, 0) + t(1, 1, 1) e os pontos A = (1, 1, 1) e B = (0, 0, 1), ache o ponto de r equidistante de A e B.

Passo 1

Com base na equação da reta, podemos inferir que um ponto qualquer dessa reta pode ser descrito como:

P r = ( 1 + t , t ,   t )

Passo 2

Podemos descrever dois vetores que ligam de P r até os pontos A e B:

A P r → = 1 + t - 1 ,   t - 1 ,   t - 1 = ( t ,   t - 1 ,   t - 1 )

B P r → = 1 + t - 0 ,   t - 0 ,   t - 1 = ( 1 + t ,   t ,   t - 1 )

A norma dos vetores indica a distância entre P r e os pontos A e B.

Passo 3

Para o ponto A:

A P r → = t 2 + ( t - 1 ) 2 + ( t - 1 ) 2

A P r → = t 2 + t 2 - 2 t + 1 + t 2 - 2 t + 1

A P r → = 3 t 2 - 4 t + 2

Para o ponto B:

B P r → = ( 1 + t ) 2 + t 2 + ( t - 1 ) 2

B P r → = t 2 + 2 t + 1 + t 2 + t 2 - 2 t + 1

B P r → = 3 t 2 + 2

Como desejamos ter a mesma distância entre P r e A e P r e B:

A P r → = B P r →

3 t 2 - 4 t + 2 = 3 t 2 + 2

3 t 2 - 4 t + 2 = 3 t 2 + 2

- 4 t = 0

t = 0

Substituindo em P r :

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Resposta

P = ( 1 ,   0 ,   0 )

Exercícios de Livros Relacionados

Ache as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (2, 2, 2) e que distam 3 do ponto (1, 1, 1).
f) Qual o ponto P de π 1 que está mais próximo da origem?
b) Calcule a distância de r a pi .
Verifique que a reta r: (x, y, z) = (1, 0, 1) + t(1, -1, 0) é paralela ao plano π = x + y + z = 0
Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta: x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3 b) Calcule a distância entre r 1 e r 2 .