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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 4.2 - Ex. 7a

Seja r 1 a reta que passa pelos pontos A = (1, 0, 0) e B = (0, 2, 0) e r 2 a reta:

x - 2 = y - 3 2 = z - 4 3

  1. Encontre as equações da reta perpendicular às retas r 1 e r 2 .

Passo 1

Como nos foi dito que a reta 1 passa pelos pontos A e B, podemos calcular seu vetor diretor de forma que:

V 1 = A B → = 0 - 1 ,   2 - 0 ,   0 - 0 = ( - 1 ,   2 ,   0 )

Com base nisso, temos que um ponto qualquer de r 1 pode ser expresso por:

P r 1 = ( 1 - t ,   2 t ,   0 )

De forma parecida, podemos descobrir a forma geral para um ponto que está incluso na reta 2:

P r 2 = ( 2 + s ,   3 + 2 s ,   4 + 3 s )

Passo 2

Agora, precisamos descobrir valores de t e s de forma que o vetor que liga P r 1 e P r 2 seja perpendicular às retas 1 e 2.

P r 1 P r 2 → = 2 + s - 1 + t ,   3 + 2 s - 2 t ,   4 + 3 s - 0 = ( 1 + s + t ,   3 + 2 s - 2 t ,   4 + 3 s )

Calculando o produto escalar desse vetor com os vetores diretores das retas 1 e 2:

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 = 1 + s + t ∙ - 1 + 3 + 2 s - 2 t ∙ 2 + ( 4 + 3 s ) ∙ 0

P r 1 P r 2 → ∙ V 1 = - 5 t + 3 s + 5

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = 1 + s + t ∙ 1 + 3 + 2 s - 2 t ∙ 2 + ( 4 + 3 s ) ∙ 3

P r 1 P r 2 → ∙ V 2 = - 3 t + 14 s + 19

Passo 3

Montando um sistema, de forma a igualar os produtos escalares a 0 (já que queremos que os vetores sejam perpendiculares), podemos encontrar os valores desejados de t e s:

- 5 t + 3 s = - 5 - 3 t + 14 s = - 19

Resolvendo o sistema, podemos isolar s na primeira equação:

3 s = - 5 + 5 t

s = - 5 + 5 t 3

Substituindo na segunda equação:

- 3 t + 14 ( - 5 + 5 t 3 ) = - 19

t = 13 61

Substituindo o valor de t em alguma na segunda equação:

- 3 ( 13 61 ) + 14 s = - 19

s = - 80 61

Substituindo t e s no ponto P r 1 e no vetor P r 1 P r 2 → :

P r 1 = ( 48 61 ,   23 61 ,   4 61 )

P r 1 P r 2 → = ( 1 - 80 61 + 13 61 ,   3 + 2 ( - 80 61 ) - 2 ( 13 61 ) ,   4 + 3 ( - 80 61 ) )

P r 1 P r 2 → = ( - 6 61 ,   - 3 61 ,   4 61 )

Utilizando o ponto e o vetor encontrado, podemos inferir que a equação da reta desejada é:

x ,   y ,   z = 48 61 ,   23 61 ,   4 61 + t ( - 6 61 ,   - 3 61 ,   4 61 )

Resposta

x ,   y ,   z = 48 61 ,   23 61 ,   4 61 + t ( - 6 61 ,   - 3 61 ,   4 61 )

Exercícios de Livros Relacionados

Ache todas as retas que passam pelo ponto (1, -2, 3) e que formam ângulos 45° e 60° com os eixos x e y respectivamente.
b) Determine a equação do plano π 2 que passa por D = (-1, 4, -1), E = (3/2, -1, 10) e é paralelo ao eixo z.
Seja π 1 o plano que passa pelos pontos A = (1, 1, 1), B = (1, 0, 1), C = (1, 1, 0) e π 2 o plano que passa pelos pontos P = (0, 0, 1) e Q = (0, 0, 0) e é paralelo ao vetor i → + j → . Ache o ângulo e
Determine a equação do plano π 1 que passa por A = (10/3, 1, -1), B = (1, 9/2, -1) e C = (1, -1, 5/6).
Dados A = (0, 2, 1), r: X = (0, 2, -2) + t(1, -1, 2), ache os pontos de r que distam 3 de A. A distância do ponto A à reta r é maior, menor ou igual à 3 ? Por que?