Sejam V e W vetores do R n . Mostre que o conjunto dos vetores da forma α V + β W é um subespaço do R n .

Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Um curso de geometria analítica e álgebra linear, Reginaldo J. Santos- Ed: 1º - Capítulo 5.2 - Ex. 14

Sejam e vetores do . Mostre que o conjunto dos vetores da forma é um subespaço do .

Passo 1

Eaew, tudo em cima?

Vamos lembrar a definição de um subespaço, beleza? Se nós temos uma matriz e o conjunto solução do sistema linear homogêneo , em que respeita as seguintes propriedades:

a) Se e pertencem a , então também pertence a .

b) Se pertence a , então também pertence a para todo escalar .

Se temos um subconjunto não vazio que obedece a) e b), então ele é um subespaço do . Belezinha? Isso já é o suficiente para demonstrarmos o que precisamos, bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos notar é que se temos um subespaço que contenha e então a primeira coisa que podemos dizer é que:

Também podemos dizer que:

pela propriedade b). Tendo isso em vista, será que um vetor é um subespaço? saca só:

Ou seja, a soma de ambos termos também é subespaço do . A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos.

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Encontre os valores de λ tais que o sistema homogêneo (A - λ I n )X = 0 tem solução não trivial e para estes valores de λ, encontre uma base para o espaço solução, para as matrizes A dadas:c) A =1 1 -

Sejam A uma matriz m × n e B uma matriz m × 1 . Seja X 0 uma solução (particular) do sistema linear A X = B . Mostre que se { V 1 , ⋯ ,V k } é uma base para o espaço solução do sistema homogêneo A X =

Sejam V 1 = ( 4,2 , - 3 ) , V 2 = ( 2,1 , - 2 ) e V 3 = ( - 2 , - 1,0 ) .(c)Qual a dimensão do subespaço gerado por V 1 , V 2 e V 3 , ou seja, do conjunto das combinações lineares de V 1 , V 2 e V 3 .

Mostre que a dimensão do subespaço gerado pelas linhas de uma matriz escalonada reduzida é igual a dimensão do subespaço gerado pelas suas colunas.

Dados V 1 = ( 2,1 , 3 ) e V 2 = ( 2,6 , 4 ) :(a) Os vetores V 1 e V 2 geram o R 3 ? Justifique.(b) Seja V 3 um terceiro vetor do R 3 . Quais as condições sobre V 3 , para que V 1 , V 2 , V 3 seja uma