Sejam V e W vetores do R n . Mostre que o conjunto dos vetores da forma α V + β W é um subespaço do R n .

Passo 1

Eaew, tudo em cima?

Vamos lembrar a definição de um subespaço, beleza? Se nós temos uma matriz m × n e B ⊂ R n o conjunto solução do sistema linear homogêneo A X = 0 ̄ , em que B respeita as seguintes propriedades:

a) Se X e Y pertencem a B , então X + Y também pertence a B .

b) Se X pertence a B , então α X também pertence a B para todo escalar α .

Se temos um subconjunto não vazio que obedece a) e b), então ele é um subespaço do R n . Belezinha? Isso já é o suficiente para demonstrarmos o que precisamos, bora lá!

Passo 2

A primeira coisa que precisamos notar é que se temos um subespaço B ⊂ R n que contenha V e W então a primeira coisa que podemos dizer é que:

A V   =   0 ̄   e   A W   =   0 ̄

Também podemos dizer que:

A ( α V ) = 0 ̄   e   A ( β W ) = 0 ̄

pela propriedade b). Tendo isso em vista, será que um vetor X = α V + β W é um subespaço? saca só:

A X = 0 ̄ → A ( α V + β W ) = 0 ̄ → A ( α V ) + A ( β W ) = 0 ̄ → 0 ̄ = 0 ̄

Ou seja, a soma de ambos termos também é subespaço do R n . A questão foi isso, te vejo na próxima!

Resposta

Ao longo dos passos.

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