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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 8.1 - Ex. 2

Determine se a função é uma transformação linear. Justifique sua resposta.

  • T : R 3 → R 3 , sendo v 0 um vetor fixado em R 3 e T u = u × v 0 .

    • Passo 1

    Desejamos verificar se a transformação dada é uma transformação linear, mas aí fica o questionamento: o que é uma transformação linear?

    Pois bem, uma transformação linear é uma transformação que deve atender a dois requisitos que são:

  • Multiplicação por um escalar: T k u = k ⋅ T ( u ) , onde k é um escalar.
  • Linearidade: T u + v = T u + T v

Passo 1

Dadas as considerações acima vamos verificar se nossa transformação é linear ou não. Testando a primeira condição vamos ter o seguinte

T k u = k u × v 0 = k ⋅ u × v 0 = k ⋅ T u

Estamos caminhando bem, já verificamos que a primeira condição é atendida resta-nos, agora, testar se a segunda condição é também verdadeira. Assim, façamos

T u + v = u + v ⋅ v 0 = u × v 0 + v × v 0   = T u + T v

Como nossa transformação atende aos dois requisitos necessários ela é, portanto, uma transformação linear.

Resposta

S i m ,   é   u m a   t r a n s f o r m a ç ã o   l i n e a r

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