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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 3

Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 - x 4 = 0 2 x 1 - 8 x 2 + 6 x 3 - 2 x 4 = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

1 - 4 3 - 1 2 - 8 6 - 2 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Vamos manipular nossas equações de tal forma que obteremos

L 2 - 2 L 1 → L 2

→   1 - 4 3 - 1 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 x 4 = 0 0 0 0

Dessa forma temos uma equação e 4 incógnitas, sendo assim, vamos chamar 3 das nossas incógnitas de algumas letras de tal forma que todas as nossas soluções possam ser escritas depois dependendo dessas variáveis. Então teremos

x 4 = a ,   x 3 = b ,   x 2 = c

→ x 1 = a - 3 b + 4 c

Sendo assim, podemos construir o seguinte vetor pro espaço solução

x 1 x 2 x 3 x 4 = a - 3 b + 4 c c b a = a ⋅ 1 0 0 1 + b ⋅ - 3 0 1 0 + c ⋅ 4 1 0 0

Logo, nossa base do espaço solução é dada por esses três vetores e sua dimensão será 3 pela quantidade de vetores necessária para representa-la.

Resposta

b a s e : 1 0 0 1 , - 3 0 1 0 , 4 1 0 0 ,     d i m e n s ã o : 3

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