A figura dada mostra um sistema de coordenadas retangulares x y determinado pelos vetores unitários i e j da base canônica e um sistema de coordenadas x ' y ' determinado pelos vetores unitários i e j de uma outra base. Encontre as coordenadas x ' y ' dos pontos cujas coordenas x y estão dadas

a 3 , 1

b   1,0

c   0,1

d   a , b

Passo 1

Para o sistema de coordenadas dado vamos montar o seguinte triângulo

A partir do triângulo acima podemos, usando as relações trigonométricas, chegar no seguinte

cos ⁡ 30 ° = x x ' → x ' = x cos ⁡ 30 °

y - y ' x ' = sin ⁡ 30 ° → y ' = y - x ' ⋅ sin ⁡ 30 °

Passo 2

Portanto, agora ficou simples de achar a correspondência entre qualquer ponto de x y para x ' y ' . Sendo assim, para 3 , 1 teremos

x ' = 3 3 / 2 = 2 ,     y ' = 1 - 2 ⋅ 1 2 = 0

Já para 1,0 vamos ter

x ' = 1 3 / 2 = 2 3 ,     y ' = 0 - 2 3 ⋅ 1 2 = - 1 3

Procedendo da mesma forma vamos encontrar para o terceiro ponto 0,1

x ' = 0 ,   y ' = 1 - 0 ⋅ 1 2 = 1

Por fim, para o nosso último ponto a , b obteremos

x ' = a 3 / 2 = 2 a 3 ,     y ' = b - a 3 / 2 ⋅ 1 2 = b - a 3

Resposta

a   2,0

b 2 3 , - 1 3

c   0,1

d   2 a 3 , b - a 3

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