Encontre uma base do espaço solução do sistema linear homogêneo e encontre a dimensão desse espaço.

x 1 + x 2 - x 3 = 0 - 2 x 1 - x 2 + 2 x 3 = 0 - x 1 +                 + x 3 = 0

Passo 1

Desejamos encontrar uma base do espaço solução do sistema linear dado e encontrar a dimensão do mesmo. Para isso vamos escrever o nosso sistema sob a forma de matriz para facilitar a visualização, então,

1 1 - 1 - 2 - 1 2 - 1 0 1 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Manipulando um pouco as equações fazendo as seguintes operações

L 2 + 2 L 1 → L 2 ,     L 3 + L 1 → L 3

Obteremos

1 1 - 1 0 1 0 0 1 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Fazendo agora

L 1 - L 2 → L 1 ,     L 3 - L 2 → L 3

Vamos obter

1 0 - 1 0 1 0 0 0 0 ⋅ x 1 x 2 x 3 = 0 0 0

Pois bem, agora nosso sistema passa a ser escrito como sendo

x 1 - x 3 = 0 x 2 = 0 → x 1 = x 3

Passo 2

Tomando o sistema acima e fazendo x 1 = x 3 = t vamos ter o seguinte vetor

x 1 x 2 x 3 = t 0 t = t ⋅ 1 0 1

Ou seja, precisamos de apenas um vetor para gerar todo o espaço solução do nosso sistema e, assim, a dimensão será dimensão 1.

Resposta

1 0 1 ,   d i m e n s ã o   1

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