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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Anton - Álgebra Linear- Ed: 10º - Capítulo 4.5 - Ex. 12

Em cada caso, encontre um vetor da base canônica de R 3 que pode ser acrescentado ao conjunto v 1 , v 2 para formar uma base de R 3 .

a v 1 = - 1,2 , 3 ,     v 2 = 1 , - 2 , - 2

b v 1 = 1 , - 1,0 ,     v 2 = 3,1 , - 2

Passo 1

Temos que um espaço vetorial em R 3 tem dimensão 3 e tem sua base canônica dada por

e 1 = 1,0 , 0 ,   e 2 = 0,1 , 0   e   e 3 = 0,0 , 1

Desejamos, então, encontrar 1 vetor dessa nossa base que seja linearmente independente com os outros dois vetores que já temos no exercício. Sendo assim, vamos observar que manipulando um pouco os vetores nós encontramos que

- 1 2 3 1 - 2 - 2 → L 2 + L 1 → L 2 ,   L 1 - L 2 → L 1 ,   - L 1 → L 1

1 - 2 0 0 0 1

Dessa forma, o vetor da base canônica que será linearmente independente com os outros 2 vetores vai ser e 2 cujo sistema homogêneo formado por esses três vetores tem como solução única a solução trivial e esse conjunto de vetores é capaz de gerar R 3 , assim, esse conjunto forma uma base.

Passo 2

Seguindo o mesmo raciocínio, vamos ter que o seguinte sistema para os vetores em b

1 - 1 0 3 1 - 2 → L 2 - L 1 3 → L 2 ,   T r o c a n d o   d e   l u g a r   L 1   c o m   L 2

3 1 - 2 0 - 4 3 2 3 →   - 3 L 2 4 → L 2 ,   L 1 - L 2 → L 1 , L 1 3 → L 1

1 0 - 1 2 0 1 - 1 2

Dessa forma, o vetor da base canônica que será linearmente independente com os outros 2 vetores vai ser e 3 cujo sistema homogêneo formado por esses três vetores tem como solução única a solução trivial e esse conjunto de vetores é capaz de gerar R 3 , assim, esse conjunto forma uma base.

Resposta

a   e 2

b   e 3

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