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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Álgebra Linear e Aplicações (Reginaldo J. Santos)- Ed: 1º - Capítulo 2.2 - Ex. 1

Use o processo de ortogonalização de Gram-Schmidt para encontrar uma base ortonormal para o subespaço de R 4 que tem como base 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 , 0 ,   2 ,   0 ,   1 , - 1 ,   0 ,   0 ,   1 .

Passo 1

E aí galerinha!! Beleza? Aqui temos uma questão bem bacana de Álgebra Linear, vamos lá?

Vamos separar as condições, para a nossa resolução ficar mais fácil:

Subespaço: R 4

Base: 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 , 0 ,   2 ,   0 ,   1 , - 1 ,   0 ,   0 ,   1

v 1 = 1 ,   1 ,   - 1 ,   0

v 2 = 0 ,   2 ,   0 ,   1

v 3 = - 1 ,   0 ,   0 ,   1

Passo 2

Primeiramente, para resolvermos esse exercício precisaremos realizar o primeiro passo, que é encontrar três vetores distintos, para isso, vamos nomear esses vetores de “g”. Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a projeção do vetor, que é denominada como: “proj”.

Vetor: g 1 g 1 =   v 1 g 1 =   1 ,   1 ,   - 1 ,   0

Vetor g 2

g 2 =   v 2 - p r o j ( g 1 , v 2 )

g 2 = ( 0 ,   2 ,   0 ,   1 ) - p r o j ( g 1 , v 2 )

g 2 = ( 0 ,   2 ,   0 ,   1 ) - p r o j 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   2 ,   0 ,   1

g 2 = - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1

Vetor g 3

g 3 =   v 3 - p r o j ( g 1 , v 3 ) - p r o j ( g 2 , v 3 )

g 3 = - 1 ,   0 ,   0 ,   1 - p r o j ( g 1 , v 3 ) - p r o j ( g 2 , v 3 )

g 3 = - 1 ,   0 ,   0 ,   1 - p r o j 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   1 - p r o j - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,   1

g 3 = 4 11 , - 3 11 , - 7 11 , 6 11

Passo 3

Para finalizarmos o nosso exercício, precisaremos encontrar três conjuntos de vetores que será a base resultante do nosso enunciado, mas para isso vou nomear esses três vetores de “t”.Lembrando que você pode escolher a letra que você quiser, eu escolhi de forma arbitrária, isso não influenciará em nada na sua questão, bora lá! Detalhe: Em algumas partes do exercício precisaremos calcular a norma do vetor, que é denominada como: “no”.

Vetor: t 1

t 1 = g 1 n o ( g 1 )

t 1 = 1 ,   1 ,   - 1 ,   0 n o 1 ,   1 ,   - 1 ,   0

t 1 = 1 3 3 ,     1 3 3 ,     - 1 3 3 ,     0  

Vetor: t 2

t 2 = g 2 n o ( g 2 )

t 2 = - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1 n o - 2 3 , 4 3 , 2 3 , 1

t 2 = 2 33 33 ,     4 33 33 ,     2 33 33 ,     1 11 33  

Vetor: t 3

t 3 = g 3 n o ( g 3 )

t 3 = 4 11 , - 3 11 , - 7 11 , 6 11 n o 4 11 , - 3 11 , - 7 11 , 6 11

t 3 = - 2 55 110 ,     - 3 110 110 ,     - 7 110 110 ,     3 55 110  

Finalmente, quanto trabalho!!!

Essa resolução te ajudou? Responde Aí! Até a próxima, tchaaaaau!!

Resposta

t 1 = 1 3 3 ,     1 3 3 ,     - 1 3 3 ,     0  

t 2 = 2 33 33 ,     4 33 33 ,     2 33 33 ,     1 11 33  

t 3 = - 2 55 110 ,     - 3 110 110 ,     - 7 110 110 ,     3 55 110  

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32. (Requer Cálculo) Em cada parte, use o Teorema 6.3.2a para expressar o polinômio dado como uma cominação linear dos três primeiros polinômios de Legendre (ver a observação que segue o Exemplo 8).(a
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